موقع الرياضيات

التمرين السادس في أولمبياد 1988

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين بحيث ab+1 يقسم a^2 + b^2, بين أن :

\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}   مربع كامل.




ومن أجل ذلك ليكن n \in \mathbb{N} بحيث n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}

بحيث n \neq 0

نعرف المجموعتين :

A = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \, | \,  \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\} \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}

1) بين أن المجموعتين A و B غير فارغتين, ثم أن المجموعة B تقبل أصغر عنصر t.

2) بوضعك t = \alpha + \beta بحيث (\alpha, \beta) \in A و \alpha \geq \beta بين أن \beta = 0 ثم استنتج أن n مربع كامل.


لدينا :

A = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \, | \,  \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\} \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}

ولدينا n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1} بحيث a,b \in \mathbb{N}.

إذن (a,b) \in A \qquad (a+b) \in B

خلاصة: المجموعتين A و B غير فارغتين.

وبما أن B \subset \mathbb{N} و B \neq \emptyset فإن B تقبل أصغر عنصر t = \min B


ليكن t = \min B بحيث t = \alpha + \beta و \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta+1} = n

يمكننا ترتيب العددين \alpha و \beta

نضع \alpha \geq \beta

لنبين أن \beta = 0

نفترض بالخلف ان \beta \neq 0

ونعتبر المعادلة التالية في \mathbb{R} : \frac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n

لدينا

\dfrac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n \iff x^2 - n \beta x + (\beta^2 - n) = 0\quad (E)

لدينا \alpha جذر للمعادلة (E)

وبما ان مجموع جذري المعادلة (E) يساوي n \beta

فان الجذر الآخر هو n \beta - \alpha

لدينا إذن \dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n

بقي فقط أن نتحقق أن (n \beta - \alpha) \in \mathbb{N} حتى نقول أن (n \beta - \alpha, \beta) \in A

لدينا \dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n

إذن (n \beta - \alpha) \beta + 1 > 0

وبالتالي \beta \neq 0 \qquad n \beta - \alpha > - \dfrac{1}{\beta}

إذن n \beta - \alpha \geq 0

إذن n \beta - \alpha \in \mathbb{N} وبالتالي (n \beta - \alpha, \beta) \in A

وبالتالي \Big( (n \beta - \alpha) + \beta \Big) \in B

من جهة أخرى لدينا \beta \leq \alpha إذن :

n = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta + 1} < \frac{2 \alpha^2}{\alpha \beta}

إذن n \beta - \alpha < \alpha

أي أن (n \beta - \alpha) + \beta < \alpha + \beta

وهذا تناقض لأنه لدينا \alpha+\beta = \min B

إذن الإفتراض خاطئ ولدينا \beta = 0

إذن n = \alpha^2

وبالتالي فإن \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} مربع كامل
star_edit تم نشر المشاركة في : 22/11/2016 على الساعة 17:05
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية