موقع الرياضيات

التمرين السادس في أولمبياد 1988

ليكن $a$ و $b$ عددين صحيحين طبيعيين بحيث $ab+1$ يقسم $a^2 + b^2$, بين أن :

$\dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}$   مربع كامل.




ومن أجل ذلك ليكن $n \in \mathbb{N}$ بحيث $n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}$

بحيث $n \neq 0$

نعرف المجموعتين :

$A = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \, | \, \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\} \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}$

1) بين أن المجموعتين $A$ و $B$ غير فارغتين, ثم أن المجموعة $B$ تقبل أصغر عنصر $t$.

2) بوضعك $t = \alpha + \beta$ بحيث $(\alpha, \beta) \in A$ و $\alpha \geq \beta$ بين أن $\beta = 0$ ثم استنتج أن $n$ مربع كامل.


لدينا :

$A = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 \, | \, \dfrac{x^2 + y^2}{xy + 1} = n\} \qquad B = \{ x+y \, | \, (x,y) \in A \}$

ولدينا $n = \dfrac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ بحيث $a,b \in \mathbb{N}$.

إذن $(a,b) \in A \qquad (a+b) \in B$

خلاصة: المجموعتين $A$ و $B$ غير فارغتين.

وبما أن $B \subset \mathbb{N}$ و $B \neq \emptyset$ فإن $B$ تقبل أصغر عنصر $t = \min B$


ليكن $t = \min B$ بحيث $t = \alpha + \beta$ و $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta+1} = n$

يمكننا ترتيب العددين $\alpha$ و $\beta$

نضع $\alpha \geq \beta$

لنبين أن $\beta = 0$

نفترض بالخلف ان $\beta \neq 0$

ونعتبر المعادلة التالية في $\mathbb{R}$ : $\frac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n$

لدينا

$\dfrac{x^2 + \beta^2}{x \beta + 1} = n \iff x^2 - n \beta x + (\beta^2 - n) = 0\quad (E)$

لدينا $\alpha$ جذر للمعادلة $(E)$

وبما ان مجموع جذري المعادلة $(E)$ يساوي $n \beta$

فان الجذر الآخر هو $n \beta - \alpha$

لدينا إذن $\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n$

بقي فقط أن نتحقق أن $(n \beta - \alpha) \in \mathbb{N}$ حتى نقول أن $(n \beta - \alpha, \beta) \in A$

لدينا $\dfrac{(n \beta - \alpha)^2 + \beta^2}{(n \beta - \alpha) \beta + 1} = n$

إذن $(n \beta - \alpha) \beta + 1 > 0$

وبالتالي $\beta \neq 0 \qquad n \beta - \alpha > - \dfrac{1}{\beta}$

إذن $n \beta - \alpha \geq 0$

إذن $n \beta - \alpha \in \mathbb{N}$ وبالتالي $(n \beta - \alpha, \beta) \in A$

وبالتالي $\Big( (n \beta - \alpha) + \beta \Big) \in B$

من جهة أخرى لدينا $\beta \leq \alpha$ إذن :

$n = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta + 1} < \frac{2 \alpha^2}{\alpha \beta}$

إذن $n \beta - \alpha < \alpha$

أي أن $(n \beta - \alpha) + \beta < \alpha + \beta$

وهذا تناقض لأنه لدينا $\alpha+\beta = \min B$

إذن الإفتراض خاطئ ولدينا $\beta = 0$

إذن $n = \alpha^2$

وبالتالي فإن $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ مربع كامل
star_edit تم نشر المشاركة في : 22/11/2016 على الساعة 17:05
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية