موقع الرياضيات

تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

الجزء الأول: لتكن a, b عددين من \mathbb{N}^{*} بحيث العدد الأولي 173 يقسم a^3 + b^3.


1) بين أن a^{171} \equiv -b^{171}[173] (لاحظ أن 171 = 3 \times 57)

2) بين 173 يقسم a إذا وفقط إذا كان 173 يقسم b

3) نفترض أن 173 يقسم a .بين أن 173 يقسم a+b.

4) نفترض أن 173 لا يقسم a :

1.4) باستعمال مبرهنة Fermat الصغرى بين أن a^{172} \equiv b^{172} [173]

2.4) بين ان a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]

3.4) استنتج ان 173 يقسم a+b.

الجزء الثاني: نعتبر في \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} : (E) \quad x^3 + y^3 = 173(xy+1)


ليكن (x,y) عنصرا من \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} حلا للمعادلة (E)

نضع x + y = 173 k بحيث k \in \mathbb{N}^{*}

1) تحقق أن k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1

2) بين أن k = 1 وحل المعادلة (E).


لدينا 173 يقسم a^3 + b^3 إذن

\begin{array}{rcl}a^3 + b^3 & \equiv & 0 [173] \\a^3 & \equiv & -b^3 [173] \\(a^3)^{57} & \equiv & (-b^3)^{57}[173] \\a^{171} & \equiv & -b^{171} [173]\end{array}


نفترض أن 173 يقسم a.

إذن 173 يقسم a^3

وبما أن 173 يقسم a^3 + b^3 فإن

173 يقسم (a^3 + b^3) - a^3

إذن 173 يقسم b^3.

وبما أن 173 عدد أولي, لدينا 173 تقسم b.

وبالمثل نبين أنه إذا كان 173 يقسم b فإن 173 يقسم a.

خلاصة : 173 يقسم a \Leftrightarrow 173 يقسم b


نفترض أن 173 يقسم a.

إذن 173 يقسم b.

وبالتالي 173 يقسم a+b.


ملاحظة هامة : إذا كان p عدد أولي و n \in \mathbb{N}^{*} فإن p تقسم n أو p \wedge n = 1.

لدينا 173 عدد أولي لا يقسم a إذن 173 \wedge a = 1.

لدينا أيضا حسب السؤال (2) 173 لا يقسم b إذن 173 \wedge b = 1.

حسب مبرهنة Fermat الصغرى لدينا :

a^{172} \equiv 1 [173] و b^{172} \equiv 1 [173]

إذن a^{172} \equiv b^{172} [173]


حسب السؤال الاول لدينا a^{171} \equiv -b^{171}[173].

إذن b a^{171} \equiv - b^{172}[173]

وحسب السؤال (1.4) لدينا - b^{172} \equiv - a^{172} [173]

إذن b a^{171} \equiv - a^{172} [173]

وبالتالي a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]


ملاحظة هامة : لتكن a,b,n أعداد من \mathbb{N}^{*} لدينا

\begin{array}{rcl}a \wedge b = 1 & \Leftrightarrow & a^n \wedge b = 1 \\& \Leftrightarrow & a^n \wedge b^n = 1 \\\end{array}

( راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر ).

لدينا حسب السؤال السابق 173 تقسم a^{171} (a + b).

لدينا a \wedge 173 = 1 إذن a^{171} \wedge 173 = 1

ومنه وحسب مبرهنة Gauss لدينا 173 تقسم a + b.


ملاحظة هامة : يجب معرفة المتطابقة الهامة a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)

ليكن (x,y) عنصرا من \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*} حلا للمعادلة (E) لدينا

\begin{array}{rcl}x^3 + y^3 & = & x^3 - (-y^3) \\& = & (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\end{array}

ولدينا x + y = 173 k نقوم بالتعويض في المعادلة (E) لدينا :

173 k (x^2-xy+y^2) = 173 (xy + 1)

إذن k (x^2-2xy+y^2)+kxy-xy = 1

وبالتالي k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1


لدينا k, x, y أعداد من \mathbb{N}^{*}

ولدينا k (x-y)^2 \geq 0 و (k-1) xy \geq 0 مع k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1

إذن أحد الحدود يساوي 1 و الآخر يساوي 0.

* إذا كان k (x-y)^2 = 0 إذن x - y = 0 (لان k \in \mathbb{N}^{*})

أي ان x = y, وفي نفس الوقت (k - 1) xy = 1

أي (k-1) x^2 = 1 إذن k=2 و x = 1 وهذا تناقض لأن x+y = 2x = 2 = 173k = 173 \times 2

إذن الافتراض خاطئ ولدينا (k-1) xy = 0 إذن k = 1.

حسب السؤال السابق المعادلة (E) تكافئ \left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ (x-y)^2 = 1\end{matrix}\right.

المعادلة (E) تكافئ :

\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = 1\end{matrix}\right. أو \left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = -1\end{matrix}\right.

الحل هو (87, 86) والحل الآخر (86, 87) .

وعكسيا الحلول تحقق المعادلة (E)

مجموعة حلول المعادلة (E) S =  \{(87, 86) ; (86, 87)\}
star_edit تم نشر المشاركة في : 11/06/2016 على الساعة 13:00
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية
تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi
تصحيح المغالطة حول أن pi لا نعلم هل أرقامه تنتهي بعد الفصلة