موقع الرياضيات

تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

تصحيح الحسابيات في بكالوريا 2016 الدورة العادية

الجزء الأول: لتكن $a, b$ عددين من $\mathbb{N}^{*}$ بحيث العدد الأولي $173$ يقسم $a^3 + b^3$.


1) بين أن $a^{171} \equiv -b^{171}[173]$ (لاحظ أن $171 = 3 \times 57$)

2) بين $173$ يقسم $a$ إذا وفقط إذا كان $173$ يقسم $b$

3) نفترض أن $173$ يقسم $a$ .بين أن $173$ يقسم $a+b$.

4) نفترض أن $173$ لا يقسم $a$ :

1.4) باستعمال مبرهنة Fermat الصغرى بين أن $a^{172} \equiv b^{172} [173]$

2.4) بين ان $a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]$

3.4) استنتج ان $173$ يقسم $a+b$.

الجزء الثاني: نعتبر في $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ : $(E) \quad x^3 + y^3 = 173(xy+1)$


ليكن $(x,y)$ عنصرا من $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ حلا للمعادلة $(E)$

نضع $x + y = 173 k$ بحيث $k \in \mathbb{N}^{*}$

1) تحقق أن $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$

2) بين أن $k = 1$ وحل المعادلة $(E)$.


لدينا $173$ يقسم $a^3 + b^3$ إذن

$\begin{array}{rcl}a^3 + b^3 & \equiv & 0 [173] \\a^3 & \equiv & -b^3 [173] \\(a^3)^{57} & \equiv & (-b^3)^{57}[173] \\a^{171} & \equiv & -b^{171} [173]\end{array}$


نفترض أن $173$ يقسم $a$.

إذن $173$ يقسم $a^3$

وبما أن $173$ يقسم $a^3 + b^3$ فإن

$173$ يقسم $(a^3 + b^3) - a^3$

إذن $173$ يقسم $b^3$.

وبما أن $173$ عدد أولي, لدينا $173$ تقسم $b$.

وبالمثل نبين أنه إذا كان $173$ يقسم $b$ فإن $173$ يقسم $a$.

خلاصة : $173$ يقسم $a$ $\Leftrightarrow$ $173$ يقسم $b$


نفترض أن $173$ يقسم $a$.

إذن $173$ يقسم $b$.

وبالتالي $173$ يقسم $a+b$.


ملاحظة هامة : إذا كان $p$ عدد أولي و $n \in \mathbb{N}^{*}$ فإن $p$ تقسم $n$ أو $p \wedge n = 1$.

لدينا $173$ عدد أولي لا يقسم $a$ إذن $173 \wedge a = 1$.

لدينا أيضا حسب السؤال (2) $173$ لا يقسم $b$ إذن $173 \wedge b = 1$.

حسب مبرهنة Fermat الصغرى لدينا :

$a^{172} \equiv 1 [173]$ و $b^{172} \equiv 1 [173]$

إذن $a^{172} \equiv b^{172} [173]$


حسب السؤال الاول لدينا $a^{171} \equiv -b^{171}[173]$.

إذن $b a^{171} \equiv - b^{172}[173]$

وحسب السؤال (1.4) لدينا $- b^{172} \equiv - a^{172} [173]$

إذن $b a^{171} \equiv - a^{172} [173]$

وبالتالي $a^{171} (a + b) \equiv 0 [173]$


ملاحظة هامة : لتكن $a,b,n$ أعداد من $\mathbb{N}^{*}$ لدينا

$\begin{array}{rcl}a \wedge b = 1 & \Leftrightarrow & a^n \wedge b = 1 \\& \Leftrightarrow & a^n \wedge b^n = 1 \\\end{array}$

( راجع تمارين حول القاسم المشترك الأكبر ).

لدينا حسب السؤال السابق $173$ تقسم $a^{171} (a + b)$.

لدينا $a \wedge 173 = 1$ إذن $a^{171} \wedge 173 = 1$

ومنه وحسب مبرهنة Gauss لدينا $173$ تقسم $a + b$.


ملاحظة هامة : يجب معرفة المتطابقة الهامة $a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)$

ليكن $(x,y)$ عنصرا من $\mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}$ حلا للمعادلة $(E)$ لدينا

$\begin{array}{rcl}x^3 + y^3 & = & x^3 - (-y^3) \\& = & (x+y)(x^2-xy+y^2) \\\end{array}$

ولدينا $x + y = 173 k$ نقوم بالتعويض في المعادلة $(E)$ لدينا :

$173 k (x^2-xy+y^2) = 173 (xy + 1)$

إذن $k (x^2-2xy+y^2)+kxy-xy = 1$

وبالتالي $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$


لدينا $k, x, y$ أعداد من $\mathbb{N}^{*}$

ولدينا $k (x-y)^2 \geq 0$ و $(k-1) xy \geq 0$ مع $k (x-y)^2 + (k-1) xy = 1$

إذن أحد الحدود يساوي $1$ و الآخر يساوي $0$.

* إذا كان $k (x-y)^2 = 0$ إذن $x - y = 0$ (لان $k \in \mathbb{N}^{*}$)

أي ان $x = y$, وفي نفس الوقت $(k - 1) xy = 1$

أي $(k-1) x^2 = 1$ إذن $k=2$ و $x = 1$ وهذا تناقض لأن $x+y = 2x = 2 = 173k = 173 \times 2$

إذن الافتراض خاطئ ولدينا $(k-1) xy = 0$ إذن $k = 1$.

حسب السؤال السابق المعادلة $(E)$ تكافئ $\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ (x-y)^2 = 1\end{matrix}\right.$

المعادلة $(E)$ تكافئ :

$\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = 1\end{matrix}\right.$ أو $\left\{\begin{matrix}x + y = 173\\ x-y = -1\end{matrix}\right.$

الحل هو $(87, 86)$ والحل الآخر $(86, 87)$ .

وعكسيا الحلول تحقق المعادلة $(E)$

مجموعة حلول المعادلة $(E)$ $S = \{(87, 86) ; (86, 87)\}$
star_edit تم نشر المشاركة في : 11/06/2016 على الساعة 13:00
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية