موقع الرياضيات

أعداد فيرما Nombres de Fermat

ليكن $n,m \in \mathbb{N}$. نضع $F_n = 2^{2^{n}} + 1$.

نرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي $\mathbb{P} = \{ p \in \mathbb{N} \, | \, \text{p premier}\}$

1) بين أن $2^m + 1 \in \mathbb{P} \Rightarrow \exists a \in \mathbb{N} \quad m = 2^a$.

2) ليكن $a,p \in \mathbb{N}^{*}$ بحيث $p \in \mathbb{P}$ و $a \wedge p = 1$.

وليكن $k$ اصغر عدد غير منعدم بحيث $a^k \equiv 1[p]$.

1.2) بين أن $k$ يوجد.

2.2) بين أن $a^n \equiv 1 [p] \Leftrightarrow k \, | \, n$ ثم استنتج ان $k \, | \, p - 1$.

3) بين انه اذا كان $p$ عدد أولي يقسم $F_n$ فان $p = m 2^{n+1} + 1$ بحيث $m \in \mathbb{N}$.

4) بين ان $\forall n \geq 1 \quad F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2$.

5) استنتج ان جميع اعداد Fermat أولية فيما بينها مثنى مثنى.

6) استنتج ان مجموعة الاعداد الاولية غير منتهية.


ليكن $2^m+1$ عدد أولي.

نفترض بالخلف أنه يوجد $p \in \mathbb{P}$ فردي يقسم $m$.

لدينا $m = pk$ إذن $2^m + 1 = 2^{pk} + 1$

لدينا $2^{pk} + 1 = 1-(-2^k)^p = (2^k + 1) ((-2^k)^{p-1}+(-2^k)^{p-2}+...+(-2^k)+1)$.

لدينا $2^k + 1$ قاسم فعلي لــ$2^m + 1$ ( أي يخالف $1$ و $2^m + 1$ ). وهذا تناقض على اعتبار أن $2^m + 1$ عدد أولي.

ومنه فإن العدد $m$ لا يقبل أي قاسم أولي فردي, إذن يوجد $a$ من $\mathbb{N}$ بحيث $m = 2^a$.


ليكن $p$ عدد أولي و $a$ عدد صحيح طبيعي بحيث $a \wedge p = 1$.

لدينا حسب مبرهنة Fermat الصغرى $a^{p-1} \equiv 1 [p]$

إذن يوجد $k \in \mathbb{N}$ بحيث يكون أصغر عدد غير منعدم يحقق $a^{k} \equiv 1 [p]$


I) نفترض أن $k \, | \, n$.

توجد $b \in \mathbb{N}$ بحيث $n = bk$.

لدينا $a^n \equiv a^{bk}[p]$

ولدينا $a^{bk} = (a^k)^b \equiv 1 [p]$

اذن $a^n \equiv 1 [p]$

II) نفترض أن $a^n \equiv 1 [p]$.

نقوم باجراء القسمة الاقليدية للعدد $n$ على $k$. لدينا $n = qk + r$ بحيث $0 \leq r < k$

لدينا $a^n = a^{qk + r} \equiv 1[p]$

وبما ان $a^{qk} \equiv 1[p]$ لدينا $a^r \equiv 1 [p]$

لدينا $0 \leq r < k$ وعرفنا $k$ على انه اصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم بحيث $a^k \equiv 1 [p]$.

اذن $r = 0$ اذن $n = qk$ وبالتالي $k \, | \, n$.

من I و II لدينا التكافئ.

لدينا حسب مبرهنة Fermat الصغرى $a^{p-1} \equiv 1 [p]$.

إذن حسب ما سبق $k \, | \, p-1$.


ليكن $p$ عدد أولي يقسم $F_n$ لدينا $2^{2^n} \equiv -1[p]$

وبالتالي $2^{2^{n+1}} \equiv 1[p]$

لتكن $k$ أصغر عدد غير منعدم يحقق $2^k \equiv 1[p]$.

لدينا حسب السؤال الثاني $k \, | \, 2^{n+1}$

إذن $k = 2^a$ بحيث $a \leq n+1$

لكن لاحظ ان $2^{2^n} \equiv -1[p]$ وبالتالي فان $a = n+1$.

إذن $k = 2^{n+1}$.

لدينا حسب السؤال الثاني $k \, | \, p-1$

إذن $2^{n+1} \, | \, p-1$

اذن يوجد $m \in \mathbb{N} \quad p-1 = m 2^{n+1}$.

وبالتالي $p = m 2^{n+1} + 1$.


البرهان بالترجع

من اجل $n=1$ لدينا $F_1 - 2 = 3 = F_0$ صحيح.

نفترض ان $F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2$

لنبين ان $F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} = F_{n+1} - 2$.

لدينا
$\begin{array}{rcl}F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} & = & (F_n - 2) F_n \\& = & (2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1) \\& = & 2^{2^{n+1}} - 1 \\& = & (2^{2^{n+1}} + 1) - 2 \\& = & F_{n+1} - 2\end{array}$


ومنه وحسب البرهان بالترجع لدينا $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2$


ليكن $i \neq j$ نضع $d = F_i \wedge F_j$.

نفترض ان $i < j$. لدينا حسب السؤال الرابع :

$2 = F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}$

لدينا
$\left\{\begin{matrix}d | F_i\\d | F_j\end{matrix}\right. \Rightarrow d \, | \, (F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}) = 2$


إذن $d \in \{1,2\}$.

وبما ان $F_n$ كلها أعداد فردية $d = 1$

خلاصة : أعداد فيرما كلها أولية فيما بينها مثنى مثنى.


نضع $\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n = F_n - 2$.

لدينا $u_n = F_0 F_1 ... F_{n-1}$.

لدينا $u_n$ يقبل على الاقل $n$ قاسم أولي مختلف , لان الاعداد $F_i$ اولية في ما بينها.

وبما ان $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = + \infty$ فانه يوجد عدد لانهائي من الاعداد الاولية.
star_edit تم نشر المشاركة في : 22/05/2016 على الساعة 11:37
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية