موقع الرياضيات

أعداد فيرما Nombres de Fermat

ليكن n,m \in \mathbb{N}. نضع F_n = 2^{2^{n}} + 1.

نرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالتالي \mathbb{P} = \{ p \in \mathbb{N} \, | \, \text{p premier}\}

1) بين أن 2^m + 1 \in \mathbb{P} \Rightarrow \exists a \in \mathbb{N} \quad m = 2^a.

2) ليكن a,p \in \mathbb{N}^{*} بحيث p \in \mathbb{P} و a \wedge p = 1.

وليكن k اصغر عدد غير منعدم بحيث a^k \equiv 1[p].

1.2) بين أن k يوجد.

2.2) بين أن a^n \equiv 1 [p] \Leftrightarrow k \, | \, n ثم استنتج ان k \, | \, p - 1.

3) بين انه اذا كان p عدد أولي يقسم F_n فان p = m 2^{n+1} + 1 بحيث m \in \mathbb{N}.

4) بين ان \forall n \geq 1 \quad F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2.

5) استنتج ان جميع اعداد Fermat أولية فيما بينها مثنى مثنى.

6) استنتج ان مجموعة الاعداد الاولية غير منتهية.


ليكن 2^m+1 عدد أولي.

نفترض بالخلف أنه يوجد p \in \mathbb{P} فردي يقسم m.

لدينا m = pk إذن 2^m + 1 = 2^{pk} + 1

لدينا 2^{pk} + 1 = 1-(-2^k)^p = (2^k + 1) ((-2^k)^{p-1}+(-2^k)^{p-2}+...+(-2^k)+1).

لدينا 2^k + 1 قاسم فعلي لــ2^m + 1 ( أي يخالف 1 و 2^m + 1 ). وهذا تناقض على اعتبار أن 2^m + 1 عدد أولي.

ومنه فإن العدد m لا يقبل أي قاسم أولي فردي, إذن يوجد a من \mathbb{N} بحيث m = 2^a.


ليكن p عدد أولي و a عدد صحيح طبيعي بحيث a \wedge p = 1.

لدينا حسب مبرهنة Fermat الصغرى a^{p-1} \equiv 1 [p]

إذن يوجد k \in \mathbb{N} بحيث يكون أصغر عدد غير منعدم يحقق a^{k} \equiv 1 [p]


I) نفترض أن k \, | \, n.

توجد b \in \mathbb{N} بحيث n = bk.

لدينا a^n \equiv a^{bk}[p]

ولدينا a^{bk} = (a^k)^b \equiv 1 [p]

اذن a^n \equiv 1 [p]

II) نفترض أن a^n \equiv 1 [p].

نقوم باجراء القسمة الاقليدية للعدد n على k. لدينا n = qk + r بحيث 0 \leq r < k

لدينا a^n = a^{qk + r} \equiv 1[p]

وبما ان a^{qk} \equiv 1[p] لدينا a^r \equiv 1 [p]

لدينا 0 \leq r < k وعرفنا k على انه اصغر عدد صحيح طبيعي غير منعدم بحيث a^k \equiv 1 [p].

اذن r = 0 اذن n = qk وبالتالي k \, | \, n.

من I و II لدينا التكافئ.

لدينا حسب مبرهنة Fermat الصغرى a^{p-1} \equiv 1 [p].

إذن حسب ما سبق k \, | \, p-1.


ليكن p عدد أولي يقسم F_n لدينا 2^{2^n} \equiv -1[p]

وبالتالي 2^{2^{n+1}} \equiv 1[p]

لتكن k أصغر عدد غير منعدم يحقق 2^k \equiv 1[p].

لدينا حسب السؤال الثاني k \, | \, 2^{n+1}

إذن k = 2^a بحيث a \leq n+1

لكن لاحظ ان 2^{2^n} \equiv -1[p] وبالتالي فان a = n+1.

إذن k = 2^{n+1}.

لدينا حسب السؤال الثاني k \, | \, p-1

إذن 2^{n+1} \, | \, p-1

اذن يوجد m \in \mathbb{N} \quad p-1 = m 2^{n+1}.

وبالتالي p = m 2^{n+1} + 1.


البرهان بالترجع

من اجل n=1 لدينا F_1 - 2 = 3 = F_0 صحيح.

نفترض ان F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2

لنبين ان F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} = F_{n+1} - 2.

لدينا
\begin{array}{rcl}F_0 F_1 ... F_{n-1} F_{n} & = & (F_n - 2) F_n \\& = & (2^{2^{n}}-1)(2^{2^{n}}+1) \\& = & 2^{2^{n+1}} - 1 \\& = & (2^{2^{n+1}} + 1) - 2 \\& = & F_{n+1} - 2\end{array}


ومنه وحسب البرهان بالترجع لدينا \forall n \in \mathbb{N}^{*} \quad F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n - 2


ليكن i \neq j نضع d = F_i \wedge F_j.

نفترض ان i < j. لدينا حسب السؤال الرابع :

2 = F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}

لدينا
\left\{\begin{matrix}d | F_i\\d | F_j\end{matrix}\right. \Rightarrow d \, | \, (F_j - F_0 F_1 ... F_i ... F_{j-1}) = 2


إذن d \in \{1,2\}.

وبما ان F_n كلها أعداد فردية d = 1

خلاصة : أعداد فيرما كلها أولية فيما بينها مثنى مثنى.


نضع \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n = F_n - 2.

لدينا u_n = F_0 F_1 ... F_{n-1}.

لدينا u_n يقبل على الاقل n قاسم أولي مختلف , لان الاعداد F_i اولية في ما بينها.

وبما ان \lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = + \infty فانه يوجد عدد لانهائي من الاعداد الاولية.
star_edit تم نشر المشاركة في : 22/05/2016 على الساعة 11:37
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية
تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi
تصحيح المغالطة حول أن pi لا نعلم هل أرقامه تنتهي بعد الفصلة