موقع الرياضيات

تمرين آخر

ليكن $m,n,p\in\mathbb{N}^*$ بحيث $n \geq m$.


نضع $a=p^n-1$ و $b=p^m-1$

1) برهن أن باقي قسمة $a$ على $b$ يكتب على الشكل $p^r-1$ بحيث $0 \leq r < m$

2) برهن أن: $b|a\iff m|n$

3) بوضع $d = n \wedge m$ بين انه يوجد $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^{*} \quad \alpha n - \beta m = d$

4) برهن أن: $a\wedge b=p^{n\wedge m}-1$



نقوم بانجاز القسمة الاقليدية للعدد $a = p^n - 1$ على العدد $b = p^m - 1$.



لاحظ أن البواقي (المسطرة بالأزرق) تكتب على شكل $p^{n - im}-1$ بحيث $i \in \mathbb{N}^{*}$.

ليكن $k$ بحيث $p^{n - km}-1 < b$ هنا نكون قد أنجزنا القسمة الاقليدية للعدد $a$ على $b$.

ولدينا $0 \leq r = n-km < m$.

خلاصة :

باقي القسمة الأقليدية للعدد $a$ على $b$ هو $p^r - 1$ بحيث $r = n - km$.


باقي القسمة الأقليدية للعدد $a$ على $b$ هو $p^r - 1$ بحيث $r = n - km$.

لدينا :

$\begin{array}{rcl}b | a & \Leftrightarrow & p^r - 1 = 0 \\& \Leftrightarrow & r = 0 \\& \Leftrightarrow & n = km \\& \Leftrightarrow & m | n\end{array}$


$d = n \wedge m \Rightarrow \exists (\alpha_1, \beta_1) \in \mathbb{Z}^{2} \quad d = \alpha_1 n + \beta_1 m$

إذن $d = \alpha_1 n + k nm - k nm + \beta_1 m$

$d = (\alpha_1 + km) n + (\beta_1 - kn)m$

إذن يمكننا اختيار $k \in \mathbb{Z}$ بحيث $\alpha = \alpha_1 + km > 0$ و $\beta = \beta_1 - kn < 0$.

يعني يكفي أن تكون $k > \frac{-\alpha_1}{m}$ و $k > \frac{\beta_1}{n}$.

نأخذ : $ k = \max(E(\frac{-\alpha_1}{m})+1, E(\frac{\beta_1}{n})+1)$ بحيث $E(x)$ دالة الجزء الصحيح.

لدينا : $d = \alpha n + \beta m$ بحيث $\alpha > 0$ و $\beta <0$.

أو يمكن كتابة $d = \alpha n - \beta m$ بحيث $\alpha > 0$ و $\beta > 0$.


نضع : $c = p^{n \wedge m} - 1$.

لنبين أن $a \wedge b = c$.

لدينا $n \wedge m | n$ وأيضا $n \wedge m | m$ اذن حسب السؤال الأول لدينا :

$c | a $ و $c | b$

إذن $c | a \wedge b$.

-------------------

الآن نضع $d = n \wedge m$

حسب السؤال الثاني

$\exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{N}^2 \, : \, \alpha n - \beta m = d$.


لدينا $a \wedge b | a$ و أيضا $a = p^n - 1 | p^{\alpha n} - 1$ لأن $n | \alpha n$.

إذن $a \wedge b | p^{\alpha n} - 1$.

لدينا $a \wedge b | b$ وايضا $b = p^m - 1 | p^{\beta m} - 1$ لأن $m | \beta m$.

إذن $a \wedge b | p^{\beta m} - 1$.

خلاصة :

$\left\{\begin{matrix}a \wedge b | p^{\alpha n} - 1 \\ a \wedge b | p^{\beta m} - 1\end{matrix}\right. \Rightarrow a \wedge b | (p^{\alpha n} - 1) - (p^{\beta m} - 1)$


إذن $a \wedge b | p^{\beta m} (p^{\alpha n - \beta m} - 1)$

لاحظ أن $a \wedge p = b \wedge p = 1$ وبالتالي $(a \wedge b) \wedge p = 1$

إذن $(a \wedge b) \wedge p^{\beta m} = 1$

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا : $a \wedge b | p^{\alpha n - \beta m} - 1 = p^d - 1$

إذن $a \wedge b | c$

ومنه $a \wedge b = c$
star_edit تم نشر المشاركة في : 01/05/2016 على الساعة 18:20
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية