موقع الرياضيات

تمرين آخر

ليكن m,n,p\in\mathbb{N}^* بحيث n \geq m.


نضع a=p^n-1 و b=p^m-1

1) برهن أن باقي قسمة a على b يكتب على الشكل p^r-1 بحيث 0 \leq r < m

2) برهن أن: b|a\iff m|n

3) بوضع d = n \wedge m بين انه يوجد \alpha, \beta \in \mathbb{N}^{*} \quad \alpha n - \beta m = d

4) برهن أن: a\wedge b=p^{n\wedge m}-1



نقوم بانجاز القسمة الاقليدية للعدد a = p^n - 1 على العدد b = p^m - 1.



لاحظ أن البواقي (المسطرة بالأزرق) تكتب على شكل p^{n - im}-1 بحيث i \in \mathbb{N}^{*}.

ليكن k بحيث p^{n - km}-1 < b هنا نكون قد أنجزنا القسمة الاقليدية للعدد a على b.

ولدينا 0 \leq r = n-km < m.

خلاصة :

باقي القسمة الأقليدية للعدد a على b هو p^r - 1 بحيث r = n - km.


باقي القسمة الأقليدية للعدد a على b هو p^r - 1 بحيث r = n - km.

لدينا :

\begin{array}{rcl}b | a & \Leftrightarrow & p^r - 1 = 0 \\& \Leftrightarrow & r = 0 \\& \Leftrightarrow & n = km \\& \Leftrightarrow & m | n\end{array}


d = n \wedge m \Rightarrow \exists (\alpha_1, \beta_1) \in \mathbb{Z}^{2} \quad d = \alpha_1 n + \beta_1 m

إذن d = \alpha_1 n + k nm - k nm + \beta_1 m

d = (\alpha_1 + km) n + (\beta_1 - kn)m

إذن يمكننا اختيار k \in \mathbb{Z} بحيث \alpha = \alpha_1 + km > 0 و \beta = \beta_1 - kn < 0.

يعني يكفي أن تكون k > \frac{-\alpha_1}{m} و k > \frac{\beta_1}{n}.

نأخذ :  k = \max(E(\frac{-\alpha_1}{m})+1, E(\frac{\beta_1}{n})+1) بحيث E(x) دالة الجزء الصحيح.

لدينا : d = \alpha n + \beta m بحيث \alpha > 0 و \beta <0.

أو يمكن كتابة d = \alpha n - \beta m بحيث \alpha > 0 و \beta > 0.


نضع : c = p^{n \wedge m} - 1.

لنبين أن a \wedge b = c.

لدينا n \wedge m | n وأيضا n \wedge m | m اذن حسب السؤال الأول لدينا :

c | a و c | b

إذن c | a \wedge b.

-------------------

الآن نضع d = n \wedge m

حسب السؤال الثاني

\exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{N}^2 \, : \, \alpha n - \beta m = d.


لدينا a \wedge b | a و أيضا a = p^n - 1 | p^{\alpha n} - 1 لأن n | \alpha n.

إذن a \wedge b | p^{\alpha n} - 1.

لدينا a \wedge b | b وايضا b = p^m - 1 | p^{\beta m} - 1 لأن m | \beta m.

إذن a \wedge b | p^{\beta m} - 1.

خلاصة :

\left\{\begin{matrix}a \wedge b | p^{\alpha n} - 1 \\ a \wedge b | p^{\beta m} - 1\end{matrix}\right. \Rightarrow a \wedge b | (p^{\alpha n} - 1) - (p^{\beta m} - 1)


إذن a \wedge b | p^{\beta m} (p^{\alpha n - \beta m} - 1)

لاحظ أن a \wedge p = b \wedge p = 1 وبالتالي (a \wedge b) \wedge p = 1

إذن (a \wedge b) \wedge p^{\beta m} = 1

إذن حسب مبرهنة Gauss لدينا : a \wedge b | p^{\alpha n - \beta m} - 1 = p^d - 1

إذن a \wedge b | c

ومنه a \wedge b = c
star_edit تم نشر المشاركة في : 01/05/2016 على الساعة 18:20
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية