موقع الرياضيات

درس الحسابيات في Z

الحسابيات درس يتناول مجموعة الأعداد النسبية, في ما يلي نقدم الجزء الأول من الدرس حيث سنتناول مفاهيم قابلية القسمة والأولية ومبرهنات مثل بوزو وفيرما وغوص.

قابلية القسمة في Z

ليكن $a$ و $b$ و $n$ أعدادا من $\mathbb{Z}^{*}$.
  • نقول أن $a$ يقسم $b$ ونكتب $a|b$ إذا وفقط إذا وجد $k \in \mathbb{Z}$ بحيث : $b = a \, k$.


  • لدينا $1|n$ و $n|n$, نقول أن القواسم $1,n$ أنها بديهية.


  • إذا وجد $a | n$ و $a \notin \{1,n\}$ نقول أن $a$ قاسم فعلي.


  • لدينا $a$ قاسم لــ$b$ و $b$ مضاعف لــ$a$

الموافقة بترديد

لتكن $a$ و $b$ أعداد من $\mathbb{Z}$ و $n \in \mathbb{N}^{*}$ لدينا :

$a \equiv b [n]$

و نقرأ "a يوافق b بترديد n". وتعني أن $n$ يقسم $a-b$.لدينا :
$a \equiv b [n] \Leftrightarrow n / (a-b) \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \, : \, a = k \, n + b$.

يمكننا أن نكتب أن $a$ يوافق $b$ بترديد $n$ بالطريقة التالية : $a \equiv b (mod \, n)$.

خاصيات الموافقة بترديد :

لتكن $a,b,c,d$ أعداد من $\mathbb{Z}$ و $n \in \mathbb{N}^{*}$.
  • $a \equiv a [n]$


  • $a \equiv b [n] \Leftrightarrow a+c \equiv b+c[n]$


  • $a \equiv b [n] \Rightarrow ac \equiv bc[n]$ .


  • $\left\{\begin{matrix}a \equiv b [n] \\ c \equiv d [n]\end{matrix}\right. \Rightarrow a+c \equiv b+d[n]$


  • $\left\{\begin{matrix}a \equiv b [n] \\ c \equiv d [n]\end{matrix}\right. \Rightarrow ac \equiv bd[n]$


  • $\forall p \in \mathbb{N} \, : \, a \equiv b [n] \Rightarrow a^p \equiv b^p[n]$


القسمة الأقليدية

القسمة الأقليدية في $\mathbb{Z}$ :

$(\forall (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}) \, : a = bq+r$
بحيث : $0 \leq r < |b|$

القسمة الأقليدية في $\mathbb{N}$ :

$(\forall (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{N}^{2}) \, : a = bq+r$
بحيث : $0 \leq r < b$

  • $a$ : المقسوم
  • $b$ : المقسوم عليه
  • $q$ : الخارج
  • $r$ : الباقي

للبرهان على الخاصية من هنا : القسمة الأقليدية Division Euclidienne.

لاحظ أنه في القسمة الأقليدية في $\mathbb{N}$ لدينا : $a = bq + r$ مع $0 \leq r < b$.
لدينا أيضا $b \neq 0$ أي يمكننا القسمة على $b$ لدينا :

$\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}$ مع : $0 \leq \frac{r}{b} < 1$.

وبالتالي فإن $q = \text{E}(\frac{a}{b})$ و $r = a - bq$. ($\text{E}(x)$ دالة الجزء الصحيح).

مثال : أنجز القسمة الأقليدية للعدد $171$ على $79$ :

لدينا الخارج يساوي : $\text{E}(\frac{171}{79}) = 2$.

والباقي : $171 - 2 \times 79 = 13$.

إذن : $171 = 79 \times 2 + 13$.

القاسم المشترك الأكبر

ليكن $a,b$ عددين من $\mathbb{Z}^{*}$.

القاسم المشترك الأكبر للعددين $a$ و $b$ هو أكبر قاسم موجب للعددين $a$ و $b$.

ويرمز له بــ $a \wedge b$ أو $\textup{PGDC}(a,b)$ أو $\Delta(a,b)$. لدينا :

$a \wedge b = d \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d/a \, \textup{et} \, d/b \\ d_1/a \, \textup{et} \, d_1 / b \Rightarrow d_1 / d\end{matrix}\right.$


خوارزمية أقليدس لتحديد القاسم المشترك الأكبر
هناك طريقة لتحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين $a$ و $b$ عن طريق قسمات أقليدية متتالية (Algorithme d'Euclide).
ليكن $b$ لا يقسم $a$ :

$\begin{array}{rcl}a=bq_0+r_0 & & 0 \leq r_0 < b \\b=r_0q_1+r_1 & & 0 \leq r_1 < r_0 \\r_0=r_1q_2+r_2 & & 0 \leq r_2 < r_1 \\.. & & \\.. & & \\r_{n-2}=r_{n-1}q_{n}+r_{n} & & 0 \leq r_{n} < r_{n-1} \\r_{n-1}=r_{n}q_{n+1}+0 & & \end{array}$

القاسم المشترك الأكبر للعددين $a$ و $b$ هو آخر باقي غير منعدم. لدينا $a \wedge b = r_n$.

للحصول على البرهان من هنا : خوارزمية أقليدس لتحديد القاسم المشترك الأكبر.

خاصيات :
  • القاسم المشترك الأكبر لعددين هو عدد موجب قطعا.


  • $a | b \Leftrightarrow a \wedge b = |a|$


  • $(ca) \wedge (cb) = |c| (a \wedge b)$

مثال : حدد $55 \wedge 145$ باستخدام خوارزمية أقليدس.

$ \begin{array}{rcl}145 & = & 55 \times 2 + 35 \\55 & = & 35 \times 1 + 20 \\35 & = & 20 \times 1 + 15\\20 & = & 15 \times 1 + 5\\15 & = & 5 \times 3 + 0\end{array}$

إذن لدينا : $145 \wedge 55 = 5$.

المضاعف المشترك الأصغر

ليكن $a,b$ عددين من $\mathbb{Z}^{*}$.

المضاعف المشترك الأصغر للعددين $a$ و $b$ هو أصغر مضاعف موجب للعددين $a$ و $b$.

ويرمز له بــ $a \vee b$ أو $\textup{PPMC}(a,b)$ أو $\textup{M}(a,b)$. لدينا :

$a \vee b = m \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a /m \, \textup{et} \, b / m \\ a / m_1 \, \textup{et} \, b / m_1 \Rightarrow m / m_1\end{matrix}\right.$


خاصيات :
  • المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو عدد موجب قطعا.


  • $a | b \Leftrightarrow a \vee b = |b|$


  • $(ca) \vee (cb) = |c| (a \vee b)$

الأعداد الأولية فيما بينها

ليكن $a,b$ عددين من $\mathbb{Z}^{*}$.
لدينا $a$ و $b$ أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا كان $a \wedge b = 1$.

لدينا الخاصية التالية :

$d = a \wedge b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\exists (\alpha , \beta) \in \mathbb{Z}^{2} \quad a = \alpha d ; \quad b = \beta d\\ \alpha \wedge \beta = 1\end{matrix}\right.$

البرهان

مبرهنة Bézout


ليكن $a,b$ عددين من $\mathbb{Z}$.

1) متساوية Bézout :

$a \wedge b = d \Rightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d = a u + b v$

ملاحظات :
  • الزوج $(u,v)$ ليس وحيدا.
  • عكس المبرهنة غير صحيح.

2) مبرهنة Bézout :

$a \wedge b = 1 \Leftrightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1$

للحصول على البرهان : مبرهنة Bézout.


مبرهنة Gauss

لتكن $a,b,c$ أعداد من $\mathbb{Z}^{*}$.
تنص مبرهنة Gauss على الآتي :
$\left\{\begin{matrix}c | ab \\ c \wedge a = 1\end{matrix}\right. \Rightarrow c | b$

البرهان من هنا

الأعداد الأولية

تعريف العدد الأولي

ليكن $n \in \mathbb{N}^{*}$.

نقول أن العدد $n$ عدد أولي إذا وفقط إذا كان $n$ يقبل قاسمين بالضبط هما $1$ و $n$.

نرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز $\mathbb{P}$.

الأعداد الأولية الأصغر من 100 :

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, \\ 43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$


خاصيات :

ليكن $n \in \mathbb{N}^{*}$ و $p$ عدد أولي.

1) لدينا $p | n$ أو $n \wedge p = 1$.

2) مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية. البرهان من هنا : بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.

3) إذا كان $p$ و $q$ عددان أوليان مختلفان فإن : $p \wedge q = 1$.

4) $\left\{\begin{matrix}p \in \mathbb{P} \\ p | ab\end{matrix}\right. \Rightarrow p|a \; \textup{ou} \; p|b$

تتمتع الأعداد الأولية بالكثير من الخصائص التي تميزها عن باقي الأعداد. لهذا فهي موضوعة في اهتمامات الباحثين الرياضين لحل ألغازها ومحاولة فهم سلوكها وتوزيعها.

لإثبات أولية عدد $n$ هناك العديد من الطريق مثل غربال إيراتوستين, أو طريقة الجذر مربع.

لدينا الخاصية التالية : $n$ غير أولي $\Leftrightarrow$ يوجد $a$ عدد صحيح طبيعي يقسم $n$ و $ 1 < a \leq \sqrt{n}$.

للحصول على البرهان : طريقة عملية لمعرفة أولية عدد.

وبالتالي لاختبار أولية عدد $n$ يكفي قسمته على الأعداد الأولية الأصغر من $\sqrt{n}$.

مبرهنة Wilson

ليكن $p \in \mathbb{N}$ تنص مبرهنة Wilson على الآتي :


$p$ أولي $ (p-1)!+1 \equiv 0[p] \Leftrightarrow$


للحصول على البرهان من هنا : مبرهنة Wilson.

لاحظ أن هذه العلاقة تصلح فقط للجانب النظري في الرياضيات. لأننا إذا أردنا مثلا البرهان على أن $17$ عدد أولي بمبرهنة Wilson لدينا :

$(17-1)! + 1 = 20922789888001$ وعلينا اختبار قابلية القسمة لهذا العدد على $17$ !!

مبرهنة Fermat الصغرى

تنص مبرهنة Fermat الصغرى على الآتي :

$p \in \mathbb{P} \Rightarrow (\forall a \in \mathbb{Z}) \quad a^p \equiv a [p]$

وإذا كان $p \wedge a = 1$ لدينا :

$a^{p-1} \equiv 1 [p]$


للحصول على البرهان من هنا : مبرهنة فيرما الصغرى.

لاحظ أن عكس مبرهنة Fermat الصغرى غير صحيح. مثال : $7^{25} \equiv 7 [25]$ لكن $25$ ليس أولي.

المبرهنة الأساسية للحسابيات

تنص المبرهنة الأساسية للحسابيات على أن كل عدد صحيح نسبي غير منعدم $n$ يمكن كتابته بكيفية وحيدة على شكل جداء عوامل أولية.

لدينا : $n = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}$

بحيث $p_1,p_2,...,p_k$ أعداد أولية موجبة مختلفة مثنى مثنى و $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k$ أعداد صحيحة طبيعية. والعدد $\epsilon = 1$ إذا كان $n >0$ و $\epsilon = -1$ إذا كان $ n < 0$.

في كل ما سيأتي نعتبر $\epsilon^2 = 1$ و $\epsilon_1^{2} = 1$.

1) قواسم عدد :

ليكن $n \in \mathbb{Z}^{*}$, لدينا التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعدد : $n = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}$.

إذا كان $a$ يقسم العدد $n$ فإن : $a = \epsilon_1 p_{1}^{\beta_1} p_{2}^{\beta_2}... p_{k}^{\beta_k}$.

بحيث $\forall i \in \{1,...,k\}\, 0 \leq \beta_i \leq \alpha_i$.

2) عدد قواسم عدد :

ليكن $n \in \mathbb{N}^{*}$.

لدينا التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعدد : $n = p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}$.

إذا كان $a$ عدد قواسم $n$ الموجبة, لدينا : $a = (1+\alpha_1) (1+\alpha_2) ... (1+\alpha_k)$.

مثال : حدد عدد قواسم العدد $756$ الموجبة.

لدينا التفكيك لجداء عوامل أولية للعدد : $756 = 2^2 3^3 7$.

وبالتالي عدد قواسم $756$ الموجبة : $(2+1) (1+3) (1+1) = 24$.

3) القاسم المشترك الأكبر / المضاعف المشترك الأصغر:

ليكن $a$ و $b$ عددين من $\mathbb{Z}^{*}$.

التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعددين $a$ و $b$ :

$a = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k} \quad b = \epsilon_1 p_{1}^{\beta_1} p_{2}^{\beta_2}... p_{k}^{\beta_k}$.

لاحظ أنه قمنا بعمل نفس الأعداد الأولية للعددين $a$ و $b$ إذ يكفي إذا كان مثلا $p_i$ يوجد في تفكيك $a$ ولا يوجد في تفكيك $b$ أن نضع $\beta_i = 0$ والعكس.

قمنا بتعريف القاسم المشترك الأكبر في السابق على أنه أكبر قاسم موجب للعدد $a$ و $b$ لدينا إذن :

$d = a \wedge b = p_{1}^{\gamma_1} p_{2}^{\gamma_2}... p_{k}^{\gamma_k}$.

بحيث $\forall i \in \{1,...,k\} \, \gamma_i = \min(\alpha_i, \beta_i)$.

خلاصة : القاسم المشترك الأكبر لعددين $a$ و $b$ هو جداء العوامل الأولية المشتركة بين $a$ و $b$ مرفوعة إلى أصغر أس.

قمنا بتعريف المضاعف المشترك الأصغر في السابق على أنه أصغر مضاعف موجب للعدد $a$ و $b$ لدينا إذن :

$m = a \vee b = p_{1}^{\lambda_1} p_{2}^{\lambda_2}... p_{k}^{\lambda_k}$.

بحيث $\forall i \in \{1,...,k\} \, \lambda_i = \max(\alpha_i, \beta_i)$.

خلاصة : المضاعف المشترك الأصغر لعددين $a$ و $b$ هو جداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة للعددين $a$ و $b$ مرفوعة لأكبر أس.

ملحوظة : لاحظ أن $\forall i \in \{1,...,k\} \quad \gamma_i + \lambda_i = \alpha_i + \beta_i$.

وبالتالي :
$\begin{array}{rcl}(a \wedge b) \times (a \vee b) & = & p_1^{\gamma_1 + \lambda_1} p_2^{\gamma_2 + \lambda_2} ... p_k^{\gamma_k + \lambda_k} \\ \\& = & p_1^{\alpha_1 + \beta_1} p_2^{\alpha_2 + \beta_2} ... p_k^{\alpha_k + \beta_k} \\ \\& = & |ab|\end{array}$


مثال : حدد $a \wedge b$ و $a \vee b$ بحيث $a = 120 \quad b=588$.

التفكيك لجداء عوامل أولية للعددين $a$ و $b$ يعطي :

$a = 2^3 \times 3 \times 5 \quad b = 2^2 \times 3 \times 7^2$.

أي أن : $a = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^0 \quad b = 2^2 \times 3 \times 5^0 \times 7^2$.

$a \wedge b = 2^2 \times 3 \times 5^0 \times 7^0 = 12$.

$a \vee b = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^2 = 5880$.

المعادلات الديفونتية الخطية

لتكن $a,b,c$ أعدادا من $\mathbb{Z}$.

المعادلة $a x + by = c$ ذات المجهولين $x$ و $y$ في $\mathbb{Z}$ تسمى المعادلة الديوفنتية الخطية والتي تنسب إلى العالم الرياضي اليوناني Diophantus.

خصائص :
  • للمعادلة $a x + by = c$ حل في $\mathbb{Z}^2$ $\Leftrightarrow$ $a \wedge b$ يقسم $c$.


  • إذا كان الزوج $(x_0,y_0)$ حلا للمعادلة $a x + by = c$ فإن مجموعة حلول المعادلة $(E)$ تكتب على الشكل :

    $S = \{(x_0 + \frac{kb}{a \wedge b}, y_0 - \frac{ka}{a \wedge b}) \, | \, k \in \mathbb{Z}\}$

للحصول على البرهان : المعادلات الديفونتية الخطية


لاحظ أن حل معادلة ديوفنتية راجع إلى إيجاد حل خاص $(x_0, y_0)$ وهو دائما موجود بفضل متساوية Bézout. كيف نجد حلا خاصا ؟

لدينا حسب متساوية Bézout : $d = a \wedge b \Rightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2 \quad au+bv = d$.

إذن يكفي إيجاد الزوج $(u, v)$ وحيث أن $d$ يقسم $c$ نقوم بالضرب في المعامل الآخر ونحصل على النتيجة.

مثال : أوجد حلا خاصا للمعادلة $(E) \quad 56 x + 72 y = 40$.

هنا تكمن أهمية خوارزمية أقليدس لدينا :

$ \begin{array}{rcl}72 & = & 56 \times 1 + 16 \\56 & = & 16 \times 3 + 8 \\16 & = & 8 \times 2 + 0\end{array}$


لدينا : $56 \wedge 72 = 8$.

ولدينا $8$ تقسم $40$ إذن المعادلة $(E)$ لديها حلول.

نضع $a = 56 \quad b = 72$

لدينا $16 = b - a$

ولدينا : $8 = a - 3 \times 16 = a - 3 \times (b-a)$

إذن $4 a - 3b = 8$.

أي أن $20a - 15b = 40$.

هنا نكون قد وجدنا حلا خاصا للمعادلة $(E)$ وهو $(20, -15)$ و مجموعة الحلول بصفة عامة هي :

$S = \{(20+9k, -15-7k) \, | \, k \in \mathbb{Z} \}$.

تمرين :

1) حل في $\mathbb{Z}^2$ المعادلة : $(E_1) \quad 5x+20y=7$.

2) حل في $\mathbb{Z}^2$ المعادلة : $(E_2) \quad 54x+21y=906$.

الحل
star_edit تم نشر المشاركة في : 28/03/2016 على الساعة 20:04
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية