موقع الرياضيات

درس الحسابيات في Z

الحسابيات درس يتناول مجموعة الأعداد النسبية, في ما يلي نقدم الجزء الأول من الدرس حيث سنتناول مفاهيم قابلية القسمة والأولية ومبرهنات مثل بوزو وفيرما وغوص.

قابلية القسمة في Z

ليكن a و b و n أعدادا من \mathbb{Z}^{*}.
  • نقول أن a يقسم b ونكتب a|b إذا وفقط إذا وجد k \in \mathbb{Z} بحيث : b = a \, k.


  • لدينا 1|n و n|n, نقول أن القواسم 1,n أنها بديهية.


  • إذا وجد a | n و a \notin \{1,n\} نقول أن a قاسم فعلي.


  • لدينا a قاسم لــb و b مضاعف لــa

الموافقة بترديد

لتكن a و b أعداد من \mathbb{Z} و n \in \mathbb{N}^{*} لدينا :

a \equiv b [n]

و نقرأ "a يوافق b بترديد n". وتعني أن n يقسم a-b.لدينا :
a \equiv b [n] \Leftrightarrow n / (a-b) \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \, : \, a = k \, n + b.

يمكننا أن نكتب أن a يوافق b بترديد n بالطريقة التالية : a \equiv  b (mod \, n).

خاصيات الموافقة بترديد :

لتكن a,b,c,d أعداد من \mathbb{Z} و n \in \mathbb{N}^{*}.
  • a \equiv a [n]


  • a \equiv b [n] \Leftrightarrow a+c \equiv b+c[n]


  • a \equiv b [n] \Rightarrow ac \equiv bc[n] .


  • \left\{\begin{matrix}a \equiv b [n] \\ c \equiv d [n]\end{matrix}\right. \Rightarrow a+c \equiv b+d[n]


  • \left\{\begin{matrix}a \equiv b [n] \\ c \equiv d [n]\end{matrix}\right. \Rightarrow ac \equiv bd[n]


  • \forall p \in \mathbb{N} \, : \, a \equiv b [n] \Rightarrow a^p \equiv b^p[n]


القسمة الأقليدية

القسمة الأقليدية في \mathbb{Z} :

(\forall (a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}) \, : a = bq+r
بحيث : 0 \leq r < |b|

القسمة الأقليدية في \mathbb{N} :

(\forall (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}) \, (\exists !(q,r) \in \mathbb{N}^{2}) \, : a = bq+r
بحيث : 0 \leq r < b

  • a : المقسوم
  • b : المقسوم عليه
  • q : الخارج
  • r : الباقي

للبرهان على الخاصية من هنا : القسمة الأقليدية Division Euclidienne.

لاحظ أنه في القسمة الأقليدية في \mathbb{N} لدينا : a = bq + r مع 0 \leq r < b.
لدينا أيضا b \neq 0 أي يمكننا القسمة على b لدينا :

\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} مع : 0 \leq \frac{r}{b} < 1.

وبالتالي فإن q = \text{E}(\frac{a}{b}) و r = a - bq. (\text{E}(x) دالة الجزء الصحيح).

مثال : أنجز القسمة الأقليدية للعدد 171 على 79 :

لدينا الخارج يساوي : \text{E}(\frac{171}{79}) = 2.

والباقي : 171 - 2 \times 79 = 13.

إذن : 171 = 79 \times 2 + 13.

القاسم المشترك الأكبر

ليكن a,b عددين من \mathbb{Z}^{*}.

القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو أكبر قاسم موجب للعددين a و b.

ويرمز له بــ a \wedge b أو \textup{PGDC}(a,b) أو \Delta(a,b). لدينا :

a \wedge b = d \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d/a \, \textup{et} \, d/b  \\ d_1/a \, \textup{et} \, d_1 / b \Rightarrow d_1 / d\end{matrix}\right.


خوارزمية أقليدس لتحديد القاسم المشترك الأكبر
هناك طريقة لتحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين a و b عن طريق قسمات أقليدية متتالية (Algorithme d'Euclide).
ليكن b لا يقسم a :

\begin{array}{rcl}a=bq_0+r_0 &  & 0 \leq r_0 < b \\b=r_0q_1+r_1 &  & 0 \leq r_1 < r_0 \\r_0=r_1q_2+r_2 &  & 0 \leq r_2 < r_1 \\.. & & \\.. & & \\r_{n-2}=r_{n-1}q_{n}+r_{n} &  & 0 \leq r_{n} < r_{n-1} \\r_{n-1}=r_{n}q_{n+1}+0 &  & \end{array}

القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو آخر باقي غير منعدم. لدينا a \wedge b = r_n.

للحصول على البرهان من هنا : خوارزمية أقليدس لتحديد القاسم المشترك الأكبر.

خاصيات :
  • القاسم المشترك الأكبر لعددين هو عدد موجب قطعا.


  • a | b \Leftrightarrow a \wedge b = |a|


  • (ca) \wedge (cb) = |c| (a \wedge b)

مثال : حدد 55 \wedge 145 باستخدام خوارزمية أقليدس.

 \begin{array}{rcl}145 & = & 55 \times 2 + 35 \\55 & = & 35 \times 1 + 20 \\35 & = & 20 \times 1 + 15\\20 & = & 15 \times 1 + 5\\15 & = & 5 \times 3 + 0\end{array}

إذن لدينا : 145 \wedge 55 = 5.

المضاعف المشترك الأصغر

ليكن a,b عددين من \mathbb{Z}^{*}.

المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف موجب للعددين a و b.

ويرمز له بــ a \vee b أو \textup{PPMC}(a,b) أو \textup{M}(a,b). لدينا :

a \vee b = m \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a /m \, \textup{et} \, b / m  \\ a / m_1 \, \textup{et} \, b / m_1 \Rightarrow m / m_1\end{matrix}\right.


خاصيات :
  • المضاعف المشترك الأصغر لعددين هو عدد موجب قطعا.


  • a | b \Leftrightarrow a \vee b = |b|


  • (ca) \vee (cb) = |c| (a \vee b)

الأعداد الأولية فيما بينها

ليكن a,b عددين من \mathbb{Z}^{*}.
لدينا a و b أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا كان a \wedge b = 1.

لدينا الخاصية التالية :

d = a \wedge b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\exists (\alpha , \beta) \in \mathbb{Z}^{2} \quad a = \alpha d ; \quad b = \beta d\\ \alpha \wedge \beta = 1\end{matrix}\right.

البرهان




مبرهنة Bézout


ليكن a,b عددين من \mathbb{Z}.

1) متساوية Bézout :

a \wedge b = d \Rightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, d = a u + b v

ملاحظات :
  • الزوج (u,v) ليس وحيدا.
  • عكس المبرهنة غير صحيح.

2) مبرهنة Bézout :

a \wedge b = 1 \Leftrightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2} \, : \, au+bv=1

للحصول على البرهان : مبرهنة Bézout.


مبرهنة Gauss

لتكن a,b,c أعداد من \mathbb{Z}^{*}.
تنص مبرهنة Gauss على الآتي :
\left\{\begin{matrix}c | ab \\ c \wedge a = 1\end{matrix}\right. \Rightarrow c | b

البرهان من هنا




الأعداد الأولية

تعريف العدد الأولي

ليكن n \in \mathbb{N}^{*}.

نقول أن العدد n عدد أولي إذا وفقط إذا كان n يقبل قاسمين بالضبط هما 1 و n.

نرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز \mathbb{P}.

الأعداد الأولية الأصغر من 100 :

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, \\ 43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97


خاصيات :

ليكن n \in \mathbb{N}^{*} و p عدد أولي.

1) لدينا p | n أو n \wedge p = 1.

2) مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية. البرهان من هنا : بين أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية.

3) إذا كان p و q عددان أوليان مختلفان فإن : p \wedge q = 1.

4) \left\{\begin{matrix}p \in \mathbb{P} \\ p | ab\end{matrix}\right. \Rightarrow p|a \; \textup{ou} \; p|b

تتمتع الأعداد الأولية بالكثير من الخصائص التي تميزها عن باقي الأعداد. لهذا فهي موضوعة في اهتمامات الباحثين الرياضين لحل ألغازها ومحاولة فهم سلوكها وتوزيعها.

لإثبات أولية عدد n هناك العديد من الطريق مثل غربال إيراتوستين, أو طريقة الجذر مربع.

لدينا الخاصية التالية : n غير أولي \Leftrightarrow يوجد a عدد صحيح طبيعي يقسم n و  1 < a \leq \sqrt{n}.

للحصول على البرهان : طريقة عملية لمعرفة أولية عدد.

وبالتالي لاختبار أولية عدد n يكفي قسمته على الأعداد الأولية الأصغر من \sqrt{n}.

مبرهنة Wilson

ليكن p \in \mathbb{N} تنص مبرهنة Wilson على الآتي :


p أولي  (p-1)!+1 \equiv 0[p] \Leftrightarrow


للحصول على البرهان من هنا : مبرهنة Wilson.

لاحظ أن هذه العلاقة تصلح فقط للجانب النظري في الرياضيات. لأننا إذا أردنا مثلا البرهان على أن 17 عدد أولي بمبرهنة Wilson لدينا :

(17-1)! + 1 = 20922789888001 وعلينا اختبار قابلية القسمة لهذا العدد على 17 !!

مبرهنة Fermat الصغرى

تنص مبرهنة Fermat الصغرى على الآتي :

p \in \mathbb{P} \Rightarrow (\forall a \in \mathbb{Z}) \quad a^p \equiv a [p]

وإذا كان p \wedge a = 1 لدينا :

a^{p-1} \equiv 1 [p]


للحصول على البرهان من هنا : مبرهنة فيرما الصغرى.

لاحظ أن عكس مبرهنة Fermat الصغرى غير صحيح. مثال : 7^{25} \equiv 7 [25] لكن 25 ليس أولي.

المبرهنة الأساسية للحسابيات

تنص المبرهنة الأساسية للحسابيات على أن كل عدد صحيح نسبي غير منعدم n يمكن كتابته بكيفية وحيدة على شكل جداء عوامل أولية.

لدينا : n = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}

بحيث p_1,p_2,...,p_k أعداد أولية موجبة مختلفة مثنى مثنى و \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k أعداد صحيحة طبيعية. والعدد \epsilon = 1 إذا كان n >0 و \epsilon = -1 إذا كان  n < 0.

في كل ما سيأتي نعتبر \epsilon^2 = 1 و \epsilon_1^{2} = 1.

1) قواسم عدد :

ليكن n \in \mathbb{Z}^{*}, لدينا التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعدد : n = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}.

إذا كان a يقسم العدد n فإن : a = \epsilon_1 p_{1}^{\beta_1} p_{2}^{\beta_2}... p_{k}^{\beta_k}.

بحيث \forall i \in \{1,...,k\}\, 0 \leq \beta_i \leq \alpha_i.

2) عدد قواسم عدد :

ليكن n \in \mathbb{N}^{*}.

لدينا التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعدد : n = p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k}.

إذا كان a عدد قواسم n الموجبة, لدينا : a = (1+\alpha_1) (1+\alpha_2) ... (1+\alpha_k).

مثال : حدد عدد قواسم العدد 756 الموجبة.

لدينا التفكيك لجداء عوامل أولية للعدد : 756 = 2^2 3^3 7.

وبالتالي عدد قواسم 756 الموجبة : (2+1) (1+3) (1+1) = 24.

3) القاسم المشترك الأكبر / المضاعف المشترك الأصغر:

ليكن a و b عددين من \mathbb{Z}^{*}.

التفكيك إلى جداء عوامل أولية للعددين a و b :

a = \epsilon p_{1}^{\alpha_1} p_{2}^{\alpha_2}... p_{k}^{\alpha_k} \quad b = \epsilon_1 p_{1}^{\beta_1} p_{2}^{\beta_2}... p_{k}^{\beta_k}.

لاحظ أنه قمنا بعمل نفس الأعداد الأولية للعددين a و b إذ يكفي إذا كان مثلا p_i يوجد في تفكيك a ولا يوجد في تفكيك b أن نضع \beta_i = 0 والعكس.

قمنا بتعريف القاسم المشترك الأكبر في السابق على أنه أكبر قاسم موجب للعدد a و b لدينا إذن :

d = a \wedge b = p_{1}^{\gamma_1} p_{2}^{\gamma_2}... p_{k}^{\gamma_k}.

بحيث \forall i \in \{1,...,k\} \, \gamma_i = \min(\alpha_i, \beta_i).

خلاصة : القاسم المشترك الأكبر لعددين a و b هو جداء العوامل الأولية المشتركة بين a و b مرفوعة إلى أصغر أس.

قمنا بتعريف المضاعف المشترك الأصغر في السابق على أنه أصغر مضاعف موجب للعدد a و b لدينا إذن :

m = a \vee b = p_{1}^{\lambda_1} p_{2}^{\lambda_2}... p_{k}^{\lambda_k}.

بحيث \forall i \in \{1,...,k\} \, \lambda_i = \max(\alpha_i, \beta_i).

خلاصة : المضاعف المشترك الأصغر لعددين a و b هو جداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة للعددين a و b مرفوعة لأكبر أس.

ملحوظة : لاحظ أن \forall i \in \{1,...,k\} \quad \gamma_i + \lambda_i = \alpha_i + \beta_i.

وبالتالي :
\begin{array}{rcl}(a \wedge b) \times (a \vee b) & = & p_1^{\gamma_1 + \lambda_1} p_2^{\gamma_2 + \lambda_2} ... p_k^{\gamma_k + \lambda_k} \\ \\& = & p_1^{\alpha_1 + \beta_1} p_2^{\alpha_2 + \beta_2} ... p_k^{\alpha_k + \beta_k} \\ \\& = & |ab|\end{array}


مثال : حدد a \wedge b و a \vee b بحيث a = 120 \quad b=588.

التفكيك لجداء عوامل أولية للعددين a و b يعطي :

a = 2^3 \times 3 \times 5 \quad b = 2^2 \times 3 \times 7^2.

أي أن : a = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^0 \quad b = 2^2 \times 3 \times 5^0 \times 7^2.

a \wedge b = 2^2 \times 3 \times 5^0 \times 7^0 = 12.

a \vee b = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7^2 = 5880.

المعادلات الديفونتية الخطية

لتكن a,b,c أعدادا من \mathbb{Z}.

المعادلة a x + by = c ذات المجهولين x و y في \mathbb{Z} تسمى المعادلة الديوفنتية الخطية والتي تنسب إلى العالم الرياضي اليوناني Diophantus.

خصائص :
  • للمعادلة a x + by = c حل في \mathbb{Z}^2 \Leftrightarrow a \wedge b يقسم c.


  • إذا كان الزوج (x_0,y_0) حلا للمعادلة a x + by = c فإن مجموعة حلول المعادلة (E) تكتب على الشكل :

    S = \{(x_0 + \frac{kb}{a \wedge b}, y_0 - \frac{ka}{a \wedge b}) \, | \, k \in \mathbb{Z}\}

للحصول على البرهان : المعادلات الديفونتية الخطية


لاحظ أن حل معادلة ديوفنتية راجع إلى إيجاد حل خاص (x_0, y_0) وهو دائما موجود بفضل متساوية Bézout. كيف نجد حلا خاصا ؟

لدينا حسب متساوية Bézout : d = a \wedge b \Rightarrow \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2 \quad au+bv = d.

إذن يكفي إيجاد الزوج (u, v) وحيث أن d يقسم c نقوم بالضرب في المعامل الآخر ونحصل على النتيجة.

مثال : أوجد حلا خاصا للمعادلة (E) \quad 56 x + 72 y = 40.

هنا تكمن أهمية خوارزمية أقليدس لدينا :

 \begin{array}{rcl}72 & = & 56 \times 1 + 16 \\56 & = & 16 \times 3 + 8 \\16 & = & 8 \times 2 + 0\end{array}


لدينا : 56 \wedge 72 = 8.

ولدينا 8 تقسم 40 إذن المعادلة (E) لديها حلول.

نضع a = 56 \quad b = 72

لدينا 16 = b - a

ولدينا : 8 = a - 3 \times 16 = a - 3 \times (b-a)

إذن 4 a - 3b = 8.

أي أن 20a - 15b = 40.

هنا نكون قد وجدنا حلا خاصا للمعادلة (E) وهو (20, -15) و مجموعة الحلول بصفة عامة هي :

S = \{(20+9k, -15-7k) \, | \, k \in \mathbb{Z} \}.

تمرين :

1) حل في \mathbb{Z}^2 المعادلة : (E_1) \quad 5x+20y=7.

2) حل في \mathbb{Z}^2 المعادلة : (E_2) \quad 54x+21y=906.

الحل



star_edit تم نشر المشاركة في : 28/03/2016 على الساعة 20:04
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية
تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi
تصحيح المغالطة حول أن pi لا نعلم هل أرقامه تنتهي بعد الفصلة