موقع الرياضيات

حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach

رغم التقدم الملحوظ في الرياضيات, وظهور وسائل وفروع جديدة في الرياضيات, إلا أنه ما زالت توجد العديد من المسائل المفتوحة اليوم التي عجز علماء الرياضيات عن حلها ومن بينها حدسية غولدباخ.



حدسية غولدباخ

حدسية غولدباخ هي واحدة من المسائل المفتوحة في نظرية الأعداد والتي ظلت مستعصية على الحل منذ قرون وحتى الآن!

نص الحدسية : يمكن التفريق بين حدسيتين للفرضية

حدسية غولدباخ القوية :

كل عدد زوجي أكبر من 4 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين.


حدسية غولدباخ الضعيفة :

كل عدد فردي أكبر من 7 يمكن كتابته على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية.


مثال لكتابة أعداد زوجية على شكل مجموع عددين أوليين
مثال لكتابة أعداد زوجية على شكل مجموع عددين أوليين.

سبب تسمية الحدسية الثانية بالـ"ضعيفة" ناتج عن أنها نتيجة مباشرة للحدسية الأولى إذا ما تم إثباتها.

لدينا : إذا كان كل عدد زوجي يساوي مجموع عددين أوليين, وبأخذ عدد فردي : فإنه يساوي 3 زائد عدد زوجي والذي بدوره يساوي مجموع عددين أوليين. و بالتالي عدد فردي يساوي مجموع ثلاثة أعداد أولية.

لكن لاحظ أن الحدسية الضعيفة لغولدباخ لا تستلزم بالضرورة القوية.

إن كتابة عدد صحيح سواء داخل حدسية غولدباخ القوية أو الضعيفة ليست بالضرورة وحيدة, لهذا غالبا ما نجد هذه الحدسية بجانب حدسية أخرى تقول أنه وإذا اعتبرنا R(n) عدد الطرق الممكنة لكتابة العدد الزوجي n على شكل مجموع عددين أوليين, فإن :

R(n) \sim 2 C_2 \left(\prod_{\substack{ p | n \\ p \geq 3 }} \frac{p-1}{p-2}\right) \frac{n}{\ln(n)^2}


بحيث C_2 ثابتة الأعداد الأولية التوأم : C_2 = \prod_{\text{p  premier} \, p \geq 3} \left(1- \frac{1}{(p-1)^2} \right) = 0.660161....

تاريخ الحدسية

Christian Goldbach
Christian Goldbach

أصل الحدسية يعود للعام 1742 عندما أرسل كريستيان غولدباخ رسالة إلى العالم الألماني المشهور ليونهارد أويلر يقترح فيها العبارة التالية :

كل عدد أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية.


في تلك الحقبة كان كريستيان غولدباخ يعتبر 1 عدد أولي.

وفي رده على الرسالة أوضح ليونهارد أويلر أن الأمر يعود للعبارة التالية :

كل عدد زوجي يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين.


دون أن يستطيع أويلر أو أي أحد من بعده من إثباتها..

التحقق الرقمي

التحقق الرقمي هو وسيلة لاختبار خطأ الفرضية, إذ يكفي إيجاد مثال مضاد واحد لتفنيد الفرضية.

في سنة 2013 قاد التحقق الرقمي لحدسية غولدباخ إلى النتيجتين التاليتين :
  • تم التحقق من صحة حدسية غولدباخ القوية حتى العدد 4 \cdot 10^{18}.


  • تم التحقق من صحة حدسية غولدباخ الضعيفة حتى العدد 8.875 \cdot 10^{30}.

نتائج حول الحدسية

بعد صياغة الحدسية عام 1742, كانت الوسائل الرياضية المتاحة آنذاك غير قادرة على التعامل مع مسألة مثل هذه رغم سهولة المصطلحات المستخدمة فيها..

وكان لابد من الإنتظار حتى بداية القرن العشرين مع تطور التحليل العقدي وظهور طريقة الغرابيل (sieve method) على يد العالم النرويجي Viggo Brun, لتتوالى النتائج بعد ذلك بتطور هذه الوسائل ...

فيما يلي سوف نضع الخط الزمني لأهم النتائج المحصلة والقريبة من الحدسية :

1920 - Viggo Brun :

كل عدد زوجي كبير كفاية هو مجموع عددين لهما على الأكثر 9 عوامل أولية.


ملاحظة : كبير كفاية تعني أن الخاصية صحيحة من أجل الأعداد الأكبر من ثابتة C (غالبا تكون قيمة C خيالية جدا ).

1923 - Hardy و Littlewood :

بافتراض صحة بعض من تعميمات فرضية ريمان استطاع العالمان الرياضيان Hardy و Littlewood من إثبات :

كل عدد فردي كبير كفاية هو مجموع ثلاثة أعداد أولية.


لاحظ أن هذا البرهان لا يمكن الأخذ به لأن فرضية ريمان لم يتم إثباتها بعد, بالإضافة إلى أنه صالح فقط بالنسبة لأعداد تتجاوز ثابتة C, بحيث C كبير جدا..

1924 - Hans Rademacher :

استطاع Hans تحسين نتيجة Brun

كل عدد زوجي كبير كفاية هو مجموع عددين لهما على الأكثر 7 عوامل أولية.


1933 - Lev Schnirelmann :

يوجد عدد k بحيث كل عدد صحيح طبيعي أكبر من 2 هو مجموع k عدد أولي على الأكثر.


1937 - Ivan Vinogradov :

كل عدد فردي كبير كفاية هو مجموع ثلاثة أعداد أولية.


لاحظ أن هذه الخاصية صحيحة من أجل جميع الأعداد الأكبر من ثابثة C.

نتيجة Vinogradov كانت مذهلة, فلأول مرة يستطيع أحد إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة من أجل أعداد كبيرة..

منذ Vinogradov استطاع علماء الرياضيات تحسين الثابتة C.

وأصغر ثابتة تمت البرهنة عليها C = e^{3100} > 10^{1346} وهو رقم خيالي جدا جدا, حيث يمكنك ملاحظة أن عدد البروتونات الموجودة في مجرة درب التبانة مضروبة في عدد البيكو-ثانية المعدودة منذ الإنفجار العظيم إلى الآن أصغر من 10^{110} !

من أجل إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة يجب التحقق من صحتها في المجال [7, C=10^{1346}] وهو أمر مستحيل بالحواسيب الحالية حيث وصل التحقق من حدسية غولدباخ الضعيفة سنة 2013 إلى 8.875 \times 10^{30} !

مبرهنة Vinogradov تدل على أن حدسية غولدباخ الضعيفة إذا كانت خاطئة فمن أجل أعداد محدودة فقط.

1947 - Alfréd Rényi :

توجد ثابتة k بحيث أي عدد زوجي يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد يقبل على الأكثر k عامل أولي.


1951 - Yuri Linnik :

توجد تابثة k بحيث كل عدد زوجي كبير كفاية هو مجموع عددين أوليين و k عدد كل منهم 2 اس عدد.


1959 - Andrzej Schnizel :

إذا كانت حدسية غولدباخ صحيحة, فإن كل عدد صحيح أكبر من 17 هو مجموع ثلاثة أعداد أولية مختلفة.


1966 - Chen Jingrun :

كل عدد زوجي كبير كفاية هو مجموع عدد أولي و عدد له عاملان أوليان على الأكثر.


1969 - Klimov :

إعطاء أول مثال لثابتة Schnirelman (1933) k =115 .


تم تحسين ثابتة Schnirelman وهي الآن تساوي k = 19.

1975 - Montgomery و Vaughan :

تقريبا, كل الأعداد الزوجية تكتب على شكل مجموع عددين أوليين.


1995 - Olivier Ramaré :

كل عدد زوجي هو مجموع 6 أعداد أولية على الأكثر.


1995 - Kaniecki :

بافتراض صحة فرضية ريمان, كل عدد زوجي هو مجموع 4 أعداد أولية على الأكثر.


1997 - Deshouillers و Effinger و Riele و Zinoviev :

فرضية ريمان المعممة تثبت حدسية غولدباخ الضعيفة إذا صحت.


2002 - Heath-Brown و Schlage-Puchta :

ثابتة Linnik (1951) k=13


2003 - Pintz و Ruzsa :

ثابتة Linnik (1951) k=8


2012 - Terence Tao :

كل عدد فردي هو مجموع 5 أعداد أولية على الأكثر.


2013 - Harald Helfgott:

أخيرا تم إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة.

كل عدد فردي كبير كفاية هو مجموع 3 أولية.


الخاصية أعلاه صحيحة من أجل جميع الأعداد الأكبر من 10^{30}, في حين تم التحقق من الأعداد الأصغر من ذلك بواسطة الحواسيب, وبهذا تم إثبات حدسية غولدباخ الضعيفة.

وبهذا يكون العالم البيروفي Harald Helfgott قد أنهى مشوارا طويلا في محاولة إثبات الحدسية الضعيفة .. في حين أن الطريق ما يزال طويلا أمام الحدسية القوية..


خلاصة

رغم سهولة فهم نص الحدسية, إلا أن محاولة البرهنة عليها بالدليل الرياضي ليست أبدا بتلك السهولة...ما يطرح الكثير من الأسئلة حول ماهية بعض الفرضيات التي تستعصي على الحل, رغم مشاركة العديد من العلماء المرموقين في محاولة حلها.

إن النتائج المحصل عليها أعلاه تستعمل أساليب معقدة للوصول إليها وتعتمد أساسا على التحليل العقدي وبعض الدوال الحسابية (fonctions arithmétiques), وغالبا ما يكون البرهان طويلا ومعقدا وأحيانا يعتمد على فرضيات أخرى لم يتم إثباتها بعد مثل فرضية ريمان.

طريقة حل حدسية غولدباخ الضعيفة, التي تمت فيها المزاوجة بين البرهان الرياضي والتحقق الرقمي تثبت أهمية الحواسيب في المسائل الرياضية وضرورة زيادة سرعتها وأدائها للوصول لأرقام أكثر ضخامة..

بعد حل فرضية غولدباخ الضعيفة, لا زال الطريق طويلا للبرهان على فرضية غولدباخ القوية, حيث أحسن نتيجة محصلة تعود إلى Chen (1966) الذي أثبت أن كل عدد زوجي كبير كفاية هو مجموع عدد أولي وعدد له عاملان أوليان على الأكثر..

star_edit تم نشر المشاركة في : 20/10/2016 على الساعة 11:56
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية
تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi
تصحيح المغالطة حول أن pi لا نعلم هل أرقامه تنتهي بعد الفصلة