موقع الرياضيات

تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi

اليوم سوف نقوم بتصحيح مغالطة حول العدد $\pi$, حيث يردد العديدون "أننا لا نعلم هل سينتهي الرقم بعد الفاصلة أم لا" .

تعريف العدد π

دائرة
دائرة.
اللون الأحمر يمثل قطر الدائرة R.
اللون الأزرق يمثل محيط الدائرة L.
يمكننا تعريف العدد $\pi$ على أنه محيط الدائرة نسبة إلى قطرها أي أن :

$\dpi{150}\begin{array}{rcl}\pi & = & \dfrac{{\color{Blue} L}}{{\color{Red} R}} \\ \\\pi & = & 3.14159265359 \cdots \\\end{array}$

وهذه النسبة هي ثابتة كيفما كانت الدائرة.
ظلت طبيعة العدد $\pi$ غامضة حتى تمكن Johann Heinrich Lambert في القرن 18 من إثبات أن العدد لاجذري : أي لا يمكن كتابته على شكل كسر عددين صحيحين .

طبيعة العدد $\pi$ اللا جذرية تعني أن الرقم بعد الفاصلة لا يمكن أن ينتهي وأن الأرقام المكونة لهذه الفاصلة ليست دورية كما سنرى لاحقا.

لاحقا تم إثبات أن العدد $\pi$ متسامي (transcendant) : أي لا يمكن أن يكون جذرا لحدودية معاملاتها في $\mathbb{Q}$.
بصورة أدق العدد $\pi$ لا يمكن أن يساوي مثلا $\frac{\sqrt{n}+\sqrt{m}}{45}$ بحيث $n$ و $m$ أعداد جذرية أو أي جذور نونية لأعداد جذرية...

تعريف العدد الجذري

نعرف مجموعة الأعداد الجذرية كالتالي :
$\dpi{150} \mathbb{Q} = \{ \frac{n}{m} \, / \, (n,m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \}$

ونقول أن $r$ عدد جذري إذا وفقط إذا كان $r\in\mathbb{Q}$.

يمكننا أن نبين الخاصية التالية :
سلسلة الأرقام بعد الفاصلة دورية $ r \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow$

أمثلة :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{3} & = & 0.3333333.... \\ \\\dfrac{16}{13} & = & 1.{\color{Red} 2}30769{\color{Red} 2}30769{\color{Red} 2}30... \\\end{array}$

للحصول على البرهان من هنا : --قريبا--

تعريف العدد اللاجذري

نعرف مجموعة الأعداد الاجذرية كالتالي :
$\dpi{150} \mathbb{R}-\mathbb{Q}$

انطلاقا من تعريف الأعداد الجذرية يمكننا استنتاج أن الأعداد اللاجذرية لا يمكن أن تكون أرقامها بعد الفاصلة منتهية أو دورية.

تصحيح المغالطة

"لا نعلم هل الأرقام بعد الفاصلة للعدد $\pi$ تنتهي أم لا" : هذه المقولة التي لطالما سمعناها في القسم وفي الدروس هي خاطئة لأننا كما رأينا سابقا أن العدد $\pi$ عدد لا جذري وإن وجد رقم هو الأخير في سلسلة الأرقام بعد الفاصلة فإن هذا العدد يصبح $\pi$ عدد جذري وهذا تناقض !.

السؤال الذي يطرح نفسه لماذا يبحث العلماء عن أرقام بعد الفاصلة تصل للملايير؟

هذا سؤال وجيه, لأن العلماء يحسبون الأرقام بعد الفاصلة ليكتشفوا ربما عن طريق التجربة علاقة محتملة قد تربط بين $\pi$ وأعداد أخرى مثل $e$ أو ثابتة أويلر $\gamma$.

أو تنسيق رياضي سهل يمكن أن نحسب بواسطته العدد $\pi$ .

وهناك من يحسب هذه الأرقام فقط لتحقيق السبق حيث التنافس عن من حقق أكبر رقم بعد الفاصلة, ولتحقيق ذلك يبحث العلماء عن سلاسل سريعة التقارب لحساب العدد $\pi$. مثل الصيغة التي وجدها David و Gregory Chudnovsky, والتي تعطي 14 رقم فاصلة صحيح في كل تصاعد لـ$k$ :

$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)! (k!)^3(-640320)^{3k}}$
star_edit تم نشر المشاركة في : 17/10/2015 على الساعة 10:20
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية