موقع الرياضيات

لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي

اليوم سوف نقوم بتصحيح مغالطة شائعة حيث يتعجب الكثير من الناس من العلاقة التالية : $1=0.99999...$ بحيث العدد $9$ غير منتهي.

مقدمة عن النهايات

1=0.999...

درس النهايات هو أحد الدروس المهمة التي تتحدث عن سلوك الدالة في نقطة معينة أو في المالانهاية.
مثال 1: نضع $f(x) = \frac{1}{x}$ المعرفة على $\mathbb{R}^{*}$.
لدينا : $\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)= 0$.

الكتابة أعلاه تعني أنه كلما كبر $x$ كثيرا فإن $f(x)$ تقترب من الــ$0$.
لكن لاحظ أن $f(x) \neq 0$ من أجل أي قيمة $x$ تنتمي إلى $\mathbb{R}^{*}$ فلا يمكن ل$\frac{1}{x}$ أن تساوي $0$.
.
مثال 2: ليكن : $n \in \mathbb{N}^{*}$ و $|x| < 1 $, لدينا العلاقة الشهيرة :

$\sum_{k=0}^{n-1}x^k = \frac{1-x^n}{1-x} $

بما أن $|x| < 1 $ لدينا : $\lim_{n\rightarrow +\infty} x^n = 0$ إذن لدينا العلاقة التالية :

$\forall x \in ]-1,1[ \, : \, \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$

1=0.999999....

في البدء سوف نضع $a=0.9999...$ وسوف نرى لماذا $a=1$.
هناك عدة طرق لنبين ذلك:

الطريقة الأولى

لدينا : $\frac{1}{3} = 0.3333333.....$ ونقوم بالضرب في $3$ ونحصل على $a=1$.

الطريقة الثانية


$\begin{array}{rcl}a & = & 0.9999... \\10 a & = & 9.9999... \\10 a - a & = & 9 \\9a & = & 9 \\a & = & 1\end{array}$

الطريقة الثالثة


$a=0.999.. = 0.9+0.09+0.009+... \\.\qquad \qquad \qquad = \frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+... \\.\qquad \qquad \qquad = 9 \, \sum_{k=1}^{+\infty} (\frac{1}{10})^k \\.\qquad \qquad \qquad = 9 \times \frac{1}{10} \times\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} \\.\qquad \qquad \qquad = 1$

خلاصة

كخلاصة لدينا : $0.9999... = \lim_{n \rightarrow +\infty} 0.\underbrace{9999...9}_{n} = 1 $
star_edit تم نشر المشاركة في : 21/03/2016 على الساعة 11:11
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية