موقع الرياضيات

أحسب مساحة الجزء الملون

أحسب مساحة الجزء الملون بالأحمر في الصورة التالية



بالتناظر، المساحة المطلوبة هي مساحة الجزء الملون بالأحمر في الصورة التالية:


AB=2r=10

لتكن S مساحة الجزء الملون بالأحمر, لدينا :

S=S_q-S_c-S_2


حيث:
    S_q مساحة المربع ABCD

    S_c مساحة الدائرة المرسومة داخل المربع

    S_2 مساحة الجزء الملون بالأصفر

لدينا:

S_q=10^2=100\quad,\quad S_c=\pi r^2=25\pi

S_2=S_t-S_1-S_3

حيث S_t هي مساحة المثلث ABE (S_1 و S_3 أنظر الشكل).

S_t=\frac{1}{4}S_q\quad,\quad S_1=\frac{1}{4}(S_q-S_c)

ومنه:

S_2=\frac{1}{4}S_q-\frac{1}{4}(S_q-S_c)-S_3=\frac{1}{4}S_c-S_3

بالتالي:

S=S_q-S_c-\frac{1}{4}S_c+S_3=S_q-\frac{5}{4}S_c+S_3

إذن:

S=100-\frac{125}{4}\pi+S_3

والآن بقي أن نحسب S_3.



باعتبار المثلث متساوي الساقين الذي رأسه O, لدينا :

\theta=\pi-2\alpha

نعتبر S_{t1} مساحة هذا المثلث :


S_{t1} = \frac{H \times L}{2}

\sin(\alpha) = \frac{H}{r} \quad , \quad \cos(\alpha) = \frac{L}{2 r}

إذن S_{t1} = r^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{r^2}{2} \sin(2 \alpha)

وبما أن \theta = \pi - 2 \alpha, وكما هو معلوم : \forall x \in \mathbb{R} \quad \sin(\pi - x) = \sin(x)

إذن : \sin(\theta) = \sin(2 \alpha)

مساحة المثلث متساوي الساقين : S_{t1} = \frac{r^2}{2} \sin(\theta)

بالنسبة للمساحة التي تكونها الزاوية \theta في الدائرة فإنها تساوي \frac{r^2}{2} \theta (يمكنك مراجعة البرهان من الرد التالي ).

إذن المساحة S_3 هي فرق هتين المساحتين, لدينا :

S_3=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)

وبما أن \theta=\pi-2\alpha . لدينا:

\alpha=\arctan\frac{1}{2}\implies\theta=\pi-2\arctan\frac{1}{2}

ومنه:

\begin{align*}S_3 &=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\sin\Big(\pi-2\arctan\frac{1}{2}\Big)\right) \\[6pt]&=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\sin\Big(2\arctan\frac{1}{2}\Big)\right)\end{align*}

ولدينا:

\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \quad , \quad \cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

ومنه:

\begin{align*}&\sin(2\arctan x)=2\sin(\arctan x)\cos(\arctan x)=\frac{2x}{1+x^2} \\[6pt]&\implies\sin\Big(2\arctan \frac{1}{2}\Big)=\frac{4}{5}\end{align*}

إذن:

\begin{align*}S_3&=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\right)\\[6pt]&=\frac{25}{2}\pi-25\arctan\frac{1}{2}-10\end{align*}

وفي الأخير:

\begin{align*}S&=100-\frac{125}{4}\pi+\frac{25}{2}\pi-25\arctan\frac{1}{2}-10\\[6pt]&=90-\frac{75}{4}\pi-25\arctan\frac{1}{2}=19.5039...\end{align*}
star_edit تم نشر المشاركة في : 01/12/2016 على الساعة 15:31
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية
تصحيح مغالطة انتهاء الأرقام بعد الفاصلة للعدد pi
تصحيح المغالطة حول أن pi لا نعلم هل أرقامه تنتهي بعد الفصلة