موقع الرياضيات

أحسب مساحة الجزء الملون

أحسب مساحة الجزء الملون بالأحمر في الصورة التالية



بالتناظر، المساحة المطلوبة هي مساحة الجزء الملون بالأحمر في الصورة التالية:


$AB=2r=10$

لتكن $S$ مساحة الجزء الملون بالأحمر, لدينا :

$S=S_q-S_c-S_2$


حيث:
    $S_q$ مساحة المربع $ABCD$

    $S_c$ مساحة الدائرة المرسومة داخل المربع

    $S_2$ مساحة الجزء الملون بالأصفر

لدينا:

$S_q=10^2=100\quad,\quad S_c=\pi r^2=25\pi$

$S_2=S_t-S_1-S_3$

حيث $S_t$ هي مساحة المثلث $ABE$ ($S_1$ و $S_3$ أنظر الشكل).

$S_t=\frac{1}{4}S_q\quad,\quad S_1=\frac{1}{4}(S_q-S_c)$

ومنه:

$S_2=\frac{1}{4}S_q-\frac{1}{4}(S_q-S_c)-S_3=\frac{1}{4}S_c-S_3$

بالتالي:

$S=S_q-S_c-\frac{1}{4}S_c+S_3=S_q-\frac{5}{4}S_c+S_3$

إذن:

$S=100-\frac{125}{4}\pi+S_3$

والآن بقي أن نحسب $S_3$.



باعتبار المثلث متساوي الساقين الذي رأسه $O$, لدينا :

$\theta=\pi-2\alpha$

نعتبر $S_{t1}$ مساحة هذا المثلث :


$S_{t1} = \frac{H \times L}{2}$

$\sin(\alpha) = \frac{H}{r} \quad , \quad \cos(\alpha) = \frac{L}{2 r}$

إذن $S_{t1} = r^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{r^2}{2} \sin(2 \alpha)$

وبما أن $\theta = \pi - 2 \alpha$, وكما هو معلوم : $\forall x \in \mathbb{R} \quad \sin(\pi - x) = \sin(x)$

إذن : $\sin(\theta) = \sin(2 \alpha)$

مساحة المثلث متساوي الساقين : $S_{t1} = \frac{r^2}{2} \sin(\theta)$

بالنسبة للمساحة التي تكونها الزاوية $\theta$ في الدائرة فإنها تساوي $\frac{r^2}{2} \theta$ (يمكنك مراجعة البرهان من الرد التالي ).

إذن المساحة $S_3$ هي فرق هتين المساحتين, لدينا :

$S_3=\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)$

وبما أن $\theta=\pi-2\alpha$ . لدينا:

$\alpha=\arctan\frac{1}{2}\implies\theta=\pi-2\arctan\frac{1}{2}$

ومنه:

$\begin{align*}S_3 &=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\sin\Big(\pi-2\arctan\frac{1}{2}\Big)\right) \\[6pt]&=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\sin\Big(2\arctan\frac{1}{2}\Big)\right)\end{align*}$

ولدينا:

$\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \quad , \quad \cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

ومنه:

$\begin{align*}&\sin(2\arctan x)=2\sin(\arctan x)\cos(\arctan x)=\frac{2x}{1+x^2} \\[6pt]&\implies\sin\Big(2\arctan \frac{1}{2}\Big)=\frac{4}{5}\end{align*}$

إذن:

$\begin{align*}S_3&=\frac{25}{2}\left(\pi-2\arctan\frac{1}{2}-\frac{4}{5}\right)\\[6pt]&=\frac{25}{2}\pi-25\arctan\frac{1}{2}-10\end{align*}$

وفي الأخير:

$\begin{align*}S&=100-\frac{125}{4}\pi+\frac{25}{2}\pi-25\arctan\frac{1}{2}-10\\[6pt]&=90-\frac{75}{4}\pi-25\arctan\frac{1}{2}=19.5039...\end{align*}$
star_edit تم نشر المشاركة في : 01/12/2016 على الساعة 15:31
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية