موقع الرياضيات

قوانين التشكيل الداخلية


قانون تشكيل داخلي

لتكن E مجموعة بحيث E \neq \varnothing .
نسمي قانون تشكيل داخلي (Loi de composition interne) كل تطبيق معرف على E\times E ويأخذ قيمه في E .
ونرمز له عادة بـ: \star ، \Delta ، \bot ... فنكتب مثلا:

\begin{array}{rcl} \star:E\times E & \rightarrow & E \\ (x,y) & \rightarrow & x\star y \end{array}

مثال 1: (كلاسيكي)
1. الضرب قانون تركيب داخلي في \mathbb{R} لأن


\forall x,y\in\mathbb{R}:x.y\in\mathbb{R}

أي أنه معرف من \mathbb{R}\times\mathbb{R} نحو \mathbb{R}.

2. الضرب قانون تركيب داخلي في المجموعة E=[0,1] لأن


\forall x,y\in[0,1]:x.y\in[0,1]

3. الضرب ليس قانون تركيب داخلي في المجموعة F=[1,2] لأنه مثلا، 1.5\in [1,2] و 2\in [0,2] في حين 1.5\times 2=3\notin [0,2].

مجموعة مستقرة

لتكن E مجموعة غير خالية و \star قانون تركيب داخلي في E، ولتكن F مجموعة جزئية غير خالية من E.
نقول عن F أنها مستقرة بالنسبة للقانون \star إذا كان اقتصار \star على F هو قانون تركيب داخلي في F. أي، إذا كان:


\forall x,y\in F: x\star y \in F

مثال 2:
في المثال السابق، المجموعة [0,1] مستقرة بالنسبة للضرب في \mathbb{R}، بينما المجموعة [1,2] غير مستقرة بالنسبة للضرب في \mathbb{R}.

خواص

لتكن E مجموعة غير خالية و \star قانون تركيب داخلي في E.

التبديل:

نقول عن \star أنه تبديلي إذا كان


\forall x,y\in E: x\star y = y\star x

التجميع:

نقول عن \star أنه تجميعي إذا كان


\forall x,y,z\in E: (x\star y)\star z =x\star (y\star z)

العنصر الحيادي:

ليكن e عنصر من E. نقول عن e أنه
* عنصر حيادي من اليمين بالنسبة للقانون \star إذا كان

\forall x\in E: x\star e = x

* عنصر حيادي من اليسار بالنسبة للقانون \star إذا كان

\forall x\in E: e\star x = x

* عنصر حيادي بالنسبة للقانون \star إذا كان حيادي من اليمين ومن اليسار في آن واحد.

العنصر النظير:

ليكن e عنصر حيادي بالنسبة للقانون \star وليكن x و x' عنصرين من E. نقول عن x' أنه
* نظير x من اليمين بالنسبة للقانون \star إذا كان x\star x' = e
* نظير x من اليسار بالنسبة للقانون \star إذا كان x'\star x = e
* نظير x بالنسبة للقانون \star إذا كان نظير من اليمين ومن اليسار في آن واحد.

التوزيع:

5.3) ليكن \Delta قانون تركيب آخر داخلي في E. نقول عن \star أنه
* توزيعي على \Delta من اليمين إذا كان


\forall x,y,z\in E: (x\Delta y)\star z =(x\star z)\Delta (y\star z)

* توزيعي على \Delta من اليسار إذا كان


\forall x,y,z\in E: z \star (x\Delta y) =(z\star x)\Delta (z\star y)

* توزيعي على \Delta إذا كان توزيعي من اليمين ومن اليسار في آن واحد.


مبرهنة 1:

1) العنصر الحيادي إن وجد فهو وحيد.
2) إذا كان القانون تجميعي فإن العنصر النظير إن وجد فهو وحيد.

البرهان:
1) ليكن e_1 و e_2 عنصرين حياديين بالنسبة للقانون \star.
لدينا: e_1\star e_2=e_1 لأن e_2 عنصر حيادي.
ومن جهة أخرى: e_1\star e_2=e_2 لأن e_1 عنصر حيادي.
ومنه نستنتج أن e_1=e_2. أي وحدانية العنصر الحيادي.

2) ليكن x' و x'' نظيرين لنفس العنصر x.
لدينا: x'\star e=x' .
ومن جهة أخرى:

x'\star e=x'\star (x\star x'')=(x'\star x)\star x''=e\star x''=x''

ومنه نستنتج أن x'=x'' . أي وحدانية العنصر النظير.

مبرهنة 2:

1) (x')'=x'
2) إذا كان \star تجميعي فإن: (x\star y)'=y'\star x'

البرهان:
1) لدينا: x'\star x=e=x\star x' . ومنه x هو نظير x' . أي أن: x=(x')'

2) لدينا:

\begin{align*} (y'\star x')\star(x\star y) & = y'\star (x'\star x)\star y \\ & = y'\star e\star y \\ & = y'\star y =e \\ \end{align}
ومنه y'\star x' هو نظير x\star y من اليسار.
ومن جهة أخرى:

\begin{align*} (x\star y)\star(y'\star x') & = x\star (y\star y')\star x' \\ & = x\star e\star x' \\ & = x\star x'=e \\ \end{align}

ومنه y'\star x' هو نظير x\star y من اليمين.
والنتيجة: y'\star x' هو نظير x\star y . أي: y'\star x'=(x\star y)'

4) تمرين محلول

ليكن العدد الحقيقي c>0 (c يشير إلى سرعة الضوء). نعتبر المجال I=]-c,+c[ ونعرف قانون جمع السرعات في نظرية النسبية بالعلاقة:

\forall x,y\in I: x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}

برهن أن العلاقة السابقة تعرف قانون تشكيل \star داخلي في المجموعة I .
2) برهن أن القانون \star تبديلي وتجميعي.
3)برهن أن القانون \star يملك عنصر حيادي يطلب تعيينه.
4) برهن أن كل عنصر من I يملك نظير بالنسبة للقانون \star .

الحل :

1) القانون \star معرف جيدا لأن المقام موجب تماما فهو لا ينعدم.
لنبرهن أن:

\forall x,y\in I:x\star y\in I
أي نبرهن أن:

\forall x,y\in I: \left| \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} \right|<c

لدينا:

\begin{align*}\forall x,y\in I: \left| \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} \right|<c & \iff \frac{|x+y|}{1+\frac{xy}{c^2}} - c <0 \\ & \iff |x+y|-c-\frac{xy}{c} <0 \\ & \iff  c|x+y|-c^2-xy <0 \\ & \iff c^2-c|x+y|+xy>0 \\ & \iff c^2-c(x+y)+xy>0 \quad \text{ou} \quad c^2+c(x+y)+xy>0 \\ & \iff (c-x)(c-y)>0 \quad \text{ou} \quad (c+x)(c+y) >0 \qquad \dots (1) \end{align}

لكن:

\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \Rightarrow \begin{cases} -c-x<0<c-x \\ -c-y<0<c-y \end{cases}  \\ & \Rightarrow \begin{cases} c-x>0 \\ c-y>0 \end{cases} \\ & \Rightarrow(c-x)(c-y)>0  \end{align*}

وأيضا:

\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \Rightarrow \begin{cases} 0<c+x<2c \\ 0<c+y<2c \end{cases}  \\ & \Rightarrow \begin{cases} c+x>0 \\ c+y>0 \end{cases} \\ & \Rightarrow(c+x)(c+y)>0  \end{align*}

ومنه العلاقة (1) محققة. أي أن:

\forall x,y\in I:\left|\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right| < c

ومنه \star هو قانون تركيب داخلي في I .


2) التبديل: لدينا

x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = \frac{y+x}{1+\frac{yx}{c^2}} = y\star x

ومنه \star تبديلي.

التجميع: لدينا
\begin{align*}\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z & =\left(\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right)\star z \\ & = t\star z=\frac{t+z}{1+\frac{tz}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}

ومن جهة أخرى

\begin{align*}\forall x,y,z\in I:x\star(y\star z) & =x\star\left(\frac{y+z}{1+\frac{yz}{c^2}}\right) \\ & = x\star t=\frac{x+t}{1+\frac{xt}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}

نلاحظ أن:

\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z = x\star(y\star z)
ومنه \star تجميعي.


3) لإيجاد العنصر الحيادي نحل المعادلتين x\star e=x و e\star x=x .
وبما أن قانون التركيب تبديلي يكفي حل معادلة واحدة.
لدينا:

\begin{align*} \forall x\in I:x\star e=x & \iff \frac{x+e}{1+\frac{xe}{c^2}}=x \\ & \iff x+e=x\left(1+\frac{xe}{c^2}\right) \\ & \iff e=\frac{x^2e}{c^2} \\ & \iff (c^2-x^2)e=0 \\ & \iff e=0\in I \end{align*}

ومنه القانون \star يملك عنصر حيادي هو e=0 (السرعة المعدومة).


4) لإيجاد العنصر النظير نحل المعادلتين x\star x'=e و x'\star x=e . وبما أن قانون التركيب تبديلي نكتفي بمعادلة واحدة.
لدينا:
\begin{align*} \forall x\in I:x\star x'=e & \iff \frac{x+x'}{1+\frac{xx'}{c^2}}=0 \\ & \iff x+x'=0 \\ & \iff x'=-x \in I\end{align*}

ومنه لكل عنصر x\in I نظير بالنسبة للقانون \star هو x'=-x (السرعة المعاكسة).
star_edit تم نشر المشاركة في : 17/03/2016 على الساعة 15:39
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية