موقع الرياضيات

قوانين التشكيل الداخلية


قانون تشكيل داخلي

لتكن $E$ مجموعة بحيث $E \neq \varnothing$ .
نسمي قانون تشكيل داخلي (Loi de composition interne) كل تطبيق معرف على $E\times E$ ويأخذ قيمه في $E$ .
ونرمز له عادة بـ: $\star$ ، $\Delta$ ، $\bot$ ... فنكتب مثلا:

$\begin{array}{rcl} \star:E\times E & \rightarrow & E \\ (x,y) & \rightarrow & x\star y \end{array}$

مثال 1: (كلاسيكي)
1. الضرب قانون تركيب داخلي في $\mathbb{R}$ لأن


$\forall x,y\in\mathbb{R}:x.y\in\mathbb{R}$

أي أنه معرف من $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ نحو $\mathbb{R}$.

2. الضرب قانون تركيب داخلي في المجموعة $E=[0,1]$ لأن


$\forall x,y\in[0,1]:x.y\in[0,1]$

3. الضرب ليس قانون تركيب داخلي في المجموعة $F=[1,2]$ لأنه مثلا، $1.5\in [1,2]$ و $2\in [0,2]$ في حين $1.5\times 2=3\notin [0,2]$.

مجموعة مستقرة

لتكن $E$ مجموعة غير خالية و $\star$ قانون تركيب داخلي في $E$، ولتكن $F$ مجموعة جزئية غير خالية من $E$.
نقول عن $F$ أنها مستقرة بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان اقتصار $\star$ على $F$ هو قانون تركيب داخلي في $F$. أي، إذا كان:


$\forall x,y\in F: x\star y \in F$

مثال 2:
في المثال السابق، المجموعة $[0,1]$ مستقرة بالنسبة للضرب في $\mathbb{R}$، بينما المجموعة $[1,2]$ غير مستقرة بالنسبة للضرب في $\mathbb{R}$.

خواص

لتكن $E$ مجموعة غير خالية و $\star$ قانون تركيب داخلي في $E$.

التبديل:

نقول عن $\star$ أنه تبديلي إذا كان


$\forall x,y\in E: x\star y = y\star x$

التجميع:

نقول عن $\star$ أنه تجميعي إذا كان


$\forall x,y,z\in E: (x\star y)\star z =x\star (y\star z)$

العنصر الحيادي:

ليكن $e$ عنصر من $E$. نقول عن $e$ أنه
* عنصر حيادي من اليمين بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان

$\forall x\in E: x\star e = x$

* عنصر حيادي من اليسار بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان

$\forall x\in E: e\star x = x$

* عنصر حيادي بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان حيادي من اليمين ومن اليسار في آن واحد.

العنصر النظير:

ليكن $e$ عنصر حيادي بالنسبة للقانون $\star$ وليكن $x$ و $x'$ عنصرين من $E$. نقول عن $x'$ أنه
* نظير $x$ من اليمين بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان $x\star x' = e$
* نظير $x$ من اليسار بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان $x'\star x = e$
* نظير $x$ بالنسبة للقانون $\star$ إذا كان نظير من اليمين ومن اليسار في آن واحد.

التوزيع:

5.3) ليكن $\Delta$ قانون تركيب آخر داخلي في $E$. نقول عن $\star$ أنه
* توزيعي على $\Delta$ من اليمين إذا كان


$\forall x,y,z\in E: (x\Delta y)\star z =(x\star z)\Delta (y\star z)$

* توزيعي على $\Delta$ من اليسار إذا كان


$\forall x,y,z\in E: z \star (x\Delta y) =(z\star x)\Delta (z\star y)$

* توزيعي على $\Delta$ إذا كان توزيعي من اليمين ومن اليسار في آن واحد.


مبرهنة 1:

1) العنصر الحيادي إن وجد فهو وحيد.
2) إذا كان القانون تجميعي فإن العنصر النظير إن وجد فهو وحيد.

البرهان:
1) ليكن $e_1$ و $e_2$ عنصرين حياديين بالنسبة للقانون $\star$.
لدينا: $e_1\star e_2=e_1$ لأن $e_2$ عنصر حيادي.
ومن جهة أخرى: $e_1\star e_2=e_2$ لأن $e_1$ عنصر حيادي.
ومنه نستنتج أن $e_1=e_2$. أي وحدانية العنصر الحيادي.

2) ليكن $x' $ و $x'' $ نظيرين لنفس العنصر $x$.
لدينا: $x'\star e=x' $ .
ومن جهة أخرى:

$x'\star e=x'\star (x\star x'')=(x'\star x)\star x''=e\star x''=x'' $

ومنه نستنتج أن $x'=x'' $ . أي وحدانية العنصر النظير.

مبرهنة 2:

1) $(x')'=x'$
2) إذا كان $\star$ تجميعي فإن: $(x\star y)'=y'\star x'$

البرهان:
1) لدينا: $x'\star x=e=x\star x'$ . ومنه $x$ هو نظير $x'$ . أي أن: $x=(x')'$

2) لدينا:

$\begin{align*} (y'\star x')\star(x\star y) & = y'\star (x'\star x)\star y \\ & = y'\star e\star y \\ & = y'\star y =e \\ \end{align} $
ومنه $y'\star x' $ هو نظير $x\star y $ من اليسار.
ومن جهة أخرى:

$\begin{align*} (x\star y)\star(y'\star x') & = x\star (y\star y')\star x' \\ & = x\star e\star x' \\ & = x\star x'=e \\ \end{align} $

ومنه $y'\star x' $ هو نظير $x\star y $ من اليمين.
والنتيجة: $y'\star x' $ هو نظير $x\star y $ . أي: $y'\star x'=(x\star y)' $

4) تمرين محلول

ليكن العدد الحقيقي $c>0$ ($c$ يشير إلى سرعة الضوء). نعتبر المجال $I=]-c,+c[ $ ونعرف قانون جمع السرعات في نظرية النسبية بالعلاقة:

$\forall x,y\in I: x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} $

برهن أن العلاقة السابقة تعرف قانون تشكيل $\star$ داخلي في المجموعة $I $ .
2) برهن أن القانون $\star$ تبديلي وتجميعي.
3)برهن أن القانون $\star$ يملك عنصر حيادي يطلب تعيينه.
4) برهن أن كل عنصر من $I$ يملك نظير بالنسبة للقانون $\star$ .

الحل :

1) القانون $\star$ معرف جيدا لأن المقام موجب تماما فهو لا ينعدم.
لنبرهن أن:

$\forall x,y\in I:x\star y\in I$
أي نبرهن أن:

$\forall x,y\in I: \left| \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} \right|<c $

لدينا:

$\begin{align*}\forall x,y\in I: \left| \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} \right|<c & \iff \frac{|x+y|}{1+\frac{xy}{c^2}} - c <0 \\ & \iff |x+y|-c-\frac{xy}{c} <0 \\ & \iff c|x+y|-c^2-xy <0 \\ & \iff c^2-c|x+y|+xy>0 \\ & \iff c^2-c(x+y)+xy>0 \quad \text{ou} \quad c^2+c(x+y)+xy>0 \\ & \iff (c-x)(c-y)>0 \quad \text{ou} \quad (c+x)(c+y) >0 \qquad \dots (1) \end{align}$

لكن:

$\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \Rightarrow \begin{cases} -c-x<0<c-x \\ -c-y<0<c-y \end{cases} \\ & \Rightarrow \begin{cases} c-x>0 \\ c-y>0 \end{cases} \\ & \Rightarrow(c-x)(c-y)>0 \end{align*}$

وأيضا:

$\begin{align*}\begin{cases} -c<x<c \\ -c<y<c \end{cases} & \Rightarrow \begin{cases} 0<c+x<2c \\ 0<c+y<2c \end{cases} \\ & \Rightarrow \begin{cases} c+x>0 \\ c+y>0 \end{cases} \\ & \Rightarrow(c+x)(c+y)>0 \end{align*}$

ومنه العلاقة $(1) $ محققة. أي أن:

$\forall x,y\in I:\left|\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right| < c $

ومنه $\star$ هو قانون تركيب داخلي في $I$ .


2) التبديل: لدينا

$x\star y=\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = \frac{y+x}{1+\frac{yx}{c^2}} = y\star x$

ومنه $\star$ تبديلي.

التجميع: لدينا
$\begin{align*}\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z & =\left(\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}}\right)\star z \\ & = t\star z=\frac{t+z}{1+\frac{tz}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}$

ومن جهة أخرى

$\begin{align*}\forall x,y,z\in I:x\star(y\star z) & =x\star\left(\frac{y+z}{1+\frac{yz}{c^2}}\right) \\ & = x\star t=\frac{x+t}{1+\frac{xt}{c^2}} \\ & =\frac{x + y + z ++\frac{xyz}{c^2}}{1+\frac{xy+yz+zx}{c^2}}\end{align*}$

نلاحظ أن:

$\forall x,y,z\in I:(x\star y)\star z = x\star(y\star z)$
ومنه $\star$ تجميعي.


3) لإيجاد العنصر الحيادي نحل المعادلتين $x\star e=x$ و $e\star x=x$ .
وبما أن قانون التركيب تبديلي يكفي حل معادلة واحدة.
لدينا:

$\begin{align*} \forall x\in I:x\star e=x & \iff \frac{x+e}{1+\frac{xe}{c^2}}=x \\ & \iff x+e=x\left(1+\frac{xe}{c^2}\right) \\ & \iff e=\frac{x^2e}{c^2} \\ & \iff (c^2-x^2)e=0 \\ & \iff e=0\in I \end{align*}$

ومنه القانون $\star$ يملك عنصر حيادي هو $e=0$ (السرعة المعدومة).


4) لإيجاد العنصر النظير نحل المعادلتين $x\star x'=e$ و $x'\star x=e$ . وبما أن قانون التركيب تبديلي نكتفي بمعادلة واحدة.
لدينا:
$\begin{align*} \forall x\in I:x\star x'=e & \iff \frac{x+x'}{1+\frac{xx'}{c^2}}=0 \\ & \iff x+x'=0 \\ & \iff x'=-x \in I\end{align*}$

ومنه لكل عنصر $x\in I$ نظير بالنسبة للقانون $\star$ هو $x'=-x$ (السرعة المعاكسة).
star_edit تم نشر المشاركة في : 17/03/2016 على الساعة 15:39
جميع الحقوق محفوظة لموقع www.th3math.com ©
يُمنع إعادة نشر مواضيع الموقع في موقعك أو مُدونتك أو منتداك، بدلاً من ذلك نحن نُشجعك عزيز الزائر على :
 * نشر روابط مواضيعنا على موقعك لإرشاد الزوار إلى مصدر الموضوع.

إدعم مبادرة موقع الرياضيات donate
منطقة الأعضاء



نسيت كلمة المرور ؟
آخر التمارين بالموقع :
آخر المواضيع بالموقع :
دالة زيتا وفرضية ريمان
دراسة دالة زيتا وفرضية ريمان حول الأصفار الغير بديهية
حدسية غولدباخ Conjecture de Goldbach
حدسية غولدباخ ومحاولات العلماء الاقتراب من حلها
درس الحسابيات في Z
درس الحسابيات، قابلية القسمة، القسمة الأقليدية والأعداد الأولية
قوانين التشكيل الداخلية
قوانين التركيب الداخلية وخصائصها
لماذا العلاقة 1=...0.99999 شيء عادي
شرح العلاقة 1=...0.999 بحيث 9 غير منتهية